Aufgabe:
Gegeben ist die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( x_{n+1}=\left\lceil\frac{1}{x_{n}}\right\rceil \cdot x_{n}-1 \), und eine beliebige irrationale Zahl \( x_{0}>0 \) als Startwert.
Dabei bezeichnet \( \lceil\bullet\rceil \) das Aufrunden, d.h. \( \left\lceil\frac{1}{x_{n}}\right\rceil \) ist die eindeutige natürliche Zahl mit \( \frac{1}{x_{n}} \leq\left\lceil\frac{1}{x_{n}}\right\rceil<\frac{1}{x_{n}}+1 \).
(a) Zeige, dass \( \frac{1}{x_{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) definiert ist.
(b) Zeige, dass die Folge konvergiert.
Problem/Ansatz:
Man müsste ja wahrscheinlich erstmal herausfinden was xn ist oder? Bei (b) haben wir die Vermutung, dass man durch die Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz beweisen kann. Da wir ja aber leider nicht wissen, wie man davor vorgeht und zB xn herausfindet, kommen wir nicht weiter...
