Zeigen Sie, x_{n} \in[-1,1] für alle n ∈ ℕ .

Question

Aufgabe

Aufgabe \( 15: \)
Eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) in \( \mathbb{R} \) sei rekursiv definiert durch einen Startwert \( x_{0} \in[-1,1] \) und die Rekursionsvorschrift
\( x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N} \)
(a) Zeigen Sie, \( x_{n} \in[-1,1] \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte \( x_{0} \in[-1,1] \) konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.

Problem/Ansatz

Ich brauche dringend eine Lösung bitte

Text erkannt:

Aufgabe \( 15: \)
Eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) in \( \mathbb{R} \) sei rekursiv definiert durch einen Startwert \( x_{0} \in[-1,1] \) und die Rekursionsvorschrift
\( x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N} \)
(a) Zeigen Sie, \( x_{n} \in[-1,1] \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte \( x_{0} \in[-1,1] \) konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.

Text erkannt:

Aufgabe \( 15: \)
Eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) in \( \mathbb{R} \) sei rekursiv definiert durch einen Startwert \( x_{0} \in[-1,1] \) und die Rekursionsvorschrift
\( x_{n}=x_{n-1}^{3}+x_{n-1}^{2}-1, \quad n \in \mathbb{N} \)
(a) Zeigen Sie, \( x_{n} \in[-1,1] \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) monoton fallt.
(c) Für welche Startwerte \( x_{0} \in[-1,1] \) konvergiert die Folge? Berechnen Sie jeweils den Grenzwert.

Answer 1

Aloha :)

Folgende Situation finden wir vor:$$x_n=x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1\quad;\quad n\in\mathbb N\quad;\quad-1\le x_0\le1$$

zu a) Beschränktheit:

Wir zeigen, dass \(-1\le x_n\le1\) durch vollständige Induktion über \(n\in\mathbb N_0\)

Verankerung bei \(n=0\): Klar, da für den Startwert \(x_0\in[-1|1]\) gilt

Induktionsschritt von \((n-1)\) auf \(n\):$$-1\le x_{n-1}\le1\quad\implies\quad 0\le x_{n-1}^2\le1$$$$-1\le x_{n-1}\le1\quad\implies\quad 0\le x_{n-1}+1\le2$$Daher gilt für das Produkt beider Terme:$$0\le x_{n-1}^2\cdot(x_{n-1}+1)\le2\implies-1\le x_{n-1}^2\cdot(x_{n-1}+1)-1\le1\implies -1\le x_n\le1$$

zu b) Monotonie:$$x_n-x_{n-1}=(x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1)-x_{n-1}=\underbrace{(x_{n-1}-1)}_{\le0}\cdot\underbrace{(x_{n-1}+1)^2}_{\ge0}\le0$$Die Folge \((x_n)\) fällt monoton.

zu c) Konvergenz

Jede beschränkte und montone Folge konvergiert. Daher konvergiert \(x_n\) gegen einen Grenzwert \(x\), den wir wie folgt bestimmen können:$$\left.x_n=x_n=x_{n-1}^3+x_{n-1}^2-1\quad\right|x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$ $$\left.x=x^3+x^2-1\quad\right|-x$$ $$\left.x^3+x^2-x-1=0\quad\right|\text{faktorisieren, s.o}$$ $$\left.(x-1)(x+1)^2=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x=1\;\lor x=-1$$Für \(x_0=1\) sind alle \(x_n=1\), die Folge ist in diesem Fall konstant und "konvergiert" daher gegen \(x=1\).

Für \(x_0<1\) ist der Grenzwert \(x=-1\), weil die Folge \((x_n)\) monoton fällt.