Aufgabe 2:
Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge
\( x_{0}:=0, \quad x_{n+1}:=\frac{1}{4} x_{n}+1, \quad n \in \mathbb{N} \)
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass \( x_{n}<\frac{4}{3} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) streng monoton wachsend ist.
c) Schließen Sie, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert.
Aufgabe 3:
Geben Sie jeweils Beispiele von Folgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) an mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 \)
(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=+\infty \),
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=c \), wobei c eine vorgegebene reelle \( \mathrm{Zahl} \) ist,
(c) die Folge \( \left(a_{n} b_{n}\right) \) ist beschränkt, aber nicht konvergent,
(d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n^{2}}=\pi \).
Bitte begründen Sie, warum die von Ihnen angegebenen Folgen die entsprechenden Eigenschaften haben.
