Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass x_{n}<4/3 für alle n ∈ ℕ gilt. (Folgen und Konvergenz)

Question

Aufgabe 2:

Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge

\( x_{0}:=0, \quad x_{n+1}:=\frac{1}{4} x_{n}+1, \quad n \in \mathbb{N} \)

a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass \( x_{n}<\frac{4}{3} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) streng monoton wachsend ist.

c) Schließen Sie, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert.

Aufgabe 3:

Geben Sie jeweils Beispiele von Folgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) an mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 \)

(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=+\infty \),

(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=c \), wobei c eine vorgegebene reelle \( \mathrm{Zahl} \) ist,

(c) die Folge \( \left(a_{n} b_{n}\right) \) ist beschränkt, aber nicht konvergent,

(d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n^{2}}=\pi \).

Bitte begründen Sie, warum die von Ihnen angegebenen Folgen die entsprechenden Eigenschaften haben.

Answer 1

zu 3)

a)     an = n^2    bn= (1/n)

b)   an = n            bn= (c/n)

c)  an = n         bn =  1/n^2

Comments

ah ok danke da wurde mir einiges klarer ;)

kann mir jemand vielleicht noch mit 2 helfen stecke da immer noch fest