Wie beweise ich diese Aussagen zum Thema Stoppzeiten?

Question

Hallo,
bei den Beweisen der folgenden Aussagen tue ich mich schwer:

Es seien \( \sigma, \tau \) und \( \tau_{j} \) Stoppzeiten bezüglich einer Filtration \( \mathbb{F}=\left(\mathcal{F}_{t}\right)_{t \in T} \) sowie
\( \mathcal{F}_{t}^{+}:=\bigcap_{s>t} \mathcal{F}_{s} \text { und } \mathbb{F}^{+}:=\left(\mathcal{F}_{t}^{+}\right)_{t \in T} \)
Zeige:
(a) Das Minimum \( \sigma \wedge \tau \) ist eine \( \mathbb{F} \)-Stoppzeit.
(b) Das Maximum \( \sigma \vee \tau \) ist eine \( \mathbb{F} \)-Stoppzeit.
(c) \( \sup _{j} \tau_{j} \) ist eine \( \mathbb{F} \)-Stoppzeit.
(d) \( \sigma+\tau \) ist eine \( \mathbb{F} \)-Stoppzeit.
(e) \( \inf _{j} \tau_{j} \) ist eine \( \mathbb{F}^{+} \)-Stoppzeit.
(f) \( \limsup _{j} \tau_{j} \) ist eine \( \mathbb{F}^{+} \)-Stoppzeit.
(g) \( \liminf _{j} \tau_{j} \) ist eine \( \mathbb{F}^{+} \)-Stoppzeit

Leider komme ich keinen einzigen Schritt weiter und würde mich somit über jegliche Hilfe sehr freuen!

Answer 1

Man greift zurück auf die Definitionen von Stoppzeiten und \(\sigma\)-Algebren zurück.

Beispiel (a).

Es genügt zu zeigen, dass

        \(E_{t}\coloneqq\left\{ \omega\in\Omega:\ \min\left\{ \sigma(\omega),\tau(\omega)\right\} \leq t\right\} \in \mathcal{F}_{t} \)

für alle \(t\in T\) ist.

Sei dazu \(t\in T\). Dann sind

        \(\left\{ \omega\in\Omega:\ \sigma(\omega)\leq t\right\} \in \mathcal{F}_{t}\)

und

        \(\left\{ \omega\in\Omega:\ \tau(\omega)\leq t\right\} \in \mathcal{F}_{t} \)

weil \(\sigma\) und \(\tau\) \(\mathbb{F}\)-Stoppzeiten sind. Also ist

        \(\left\{ \omega\in\Omega:\ \tau(\omega)\leq t\right\} \cup\left\{ \omega\in\Omega:\ \sigma(\omega)\leq t\right\} \in \mathcal{F}_{t} \)

weil \(F_{t}\) eine \(\sigma\)-Algebra ist. Dabei ist

        \(\begin{aligned} & \left\{ \omega\in\Omega:\tau(\omega)\leq t\right\} \cup\left\{ \omega\in\Omega:\sigma(\omega)\leq t\right\} \\ = & \left\{ \omega\in\Omega:\tau(\omega)\leq t\vee\sigma(\omega)\leq t\right\} \\ = & \left\{ \omega\in\Omega:\min\left\{ \tau(\omega),\sigma(\omega)\right\} \leq t\right\} \\ = &\, E_{t}\text{.} \end{aligned}\)