Rechenweg erklären? e Funktionen Ableitung

Question

e Funktionen Ableitung bilden

Kann mir jemand den Rechenweg erklären?

Um genauer zu sein was nach dem Ausklammern passiert

Danke schon mal

Text erkannt:

\( f(x)=\underbrace{(x+2)}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^{-x}}_{v(x)} \quad \begin{array}{ll}u(x)=x+2 & v(x)=e^{-x} \\ u^{\prime}(x)=1 & v^{\prime}(x)=-1 \cdot e^{-x}\end{array} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=1 \cdot e^{-x}+(x+2) \cdot(-1) e^{-x}=\\ &=e^{-x}-(x+2) e^{-x}=e^{-x}(1-(x+2\end{aligned} \)
\( =e^{-x}-(x+2) e^{-x}=e^{-x}(1-(x+2))=e^{-x}(1-x-2)= \)
\( =e^{-x}(-x-1) \)

Answer 1

Im nächsten Schritt wurde eine Minusklammer aufgelöst und das Ergebnis in der Klammer zusammengefasst.

Answer 2

Weg über die Quotientenregel:

\(f(x)=(x+2)*e^{-x}=\frac{x+2}{e^{x}}\)         \(u=x+2\)      \(u´=1\)             \(v= e^{x} \)       \(v´=e^{x}\)

\(f´(x)=1*e^{x}-(x+2)*e^{x} \)

\(f´(x)=\frac{1*e^{x}-(x+2)*e^{x}}{e^{2x}}=\frac{1-(x+2)}{e^x} =-\frac{x+1}{e^x}\)