Rechenweg erklären: Ableitung der Funktion an der Stelle x

Question

Aufgabe:

Ableitung der Funktion f(x) = x^-4 an der Stelle x₀= 1

Unsere Lehrerin hat uns folgenden Rechenweg gezeigt:

f'(x)= -4*x^-5 = -4 1/x5

x₀ = 1 → f'(x) = -4*(1)^-5 = -4

Ich kann das nicht nachvollziehen. Müsste man die Ableitung in einem Punkt nicht mit dem Differenzenquotienten und der h-methode machen?

Ich verstehe, dass f'(x)= -4*x-5 das gleiche wie -4 1/x5 ist. Aber warum kann man x₀ dann einfach einsetzten? Oder leigt das daran, dass die Funktion keinen Vorfaktor hat? Wie erkenne ich in der Klausur, welchen Rechenweg ich anwenden muss?

LG

Answer 1

Müsste man die Ableitung in einem Punkt nicht mit dem Differenzenquotienten und der h-methode machen?

Nein, sie nutzt die Potenzregel, die besagt:

\(\left [ x^n\right ]'=n\cdot x^{n-1}\)

Also in deinem Fall gilt: \(\left [ x^{-4}\right ]'=-4\cdot x^{-4-1}=-4x^{-5}=\dfrac{-4}{x^5}\)

\(x_0=1\) eingesetzt erhalten wir: \(\dfrac{-4}{1^5}=-4\)

Aber warum kann man x0 dann einfach einsetzten?

\(x_0\) ist eine Variable, eine beliebige Stelle auf der x-Achse, die als Stellvertreter für eine Zahl steht.

Answer 2

Die h-Methode dient dazu, unbekannte Ableitungen zu berechnen. Wenn ihr bereits ableiten könnt, ist die h-Methode meistens unnötig. Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x=a errechnet sich dann in zwei Schritten

1. Funktion ableiten

2. x=a einsetzen und ausrechnen.

Wenn die h-Methode allerdings im Aufgabentext gefordert wird, solltest du sie anwenden.