Wie zeige ich die Äquivalenz zweier Aussagen, zum Thema Determinanten?

Question

Hallo,

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Ich habe eine A€Z^(nxn) Matrix gegeben und zwei äquivalente Aussagen.

(1) Es gibt eine Matrix K € Z^(nxn) mit K*A = A*K = E_n

(2) det(A) = +/- 1

Ich soll zeigen, dass diese zwei Aussagen äquivalent sind. Ich weiß, aber nicht wie. Ich habe es mit der Adjunkten und der Inversen Matrix versucht, aber ich kam zu keinem Ergebnis.

Kann mir jemand einen Tipp geben? Bitte nur Tipps.

Comments

Nutze die komplementäre Matrix bzw. Adjunkte

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

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Alternativ: Wenn das Stichwort "Determinante" und "Matrizenprodukt" siehst, was fällt Dir dann ein. Beachte noch, dass es ganze Zahlen geht.

Gruß

Answer 1

Hallo MathLove. Ich verwende https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte:

Text erkannt:

\( A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \operatorname{adj} A \)

Damit Beweis von (2) nach (1):

Text erkannt:

det \( A=\pm 1 \quad \Rightarrow \quad A^{-1}=\pm a d j A \)
\( \Rightarrow \quad \ldots \quad \)   \( zz: \quad \exists k \) mit \( \quad K A=E \)
und \( A k=E \) Jetzt setze ich \( k=A^{-1} \) und zeige. dass \( k \) ganzzahlig ist. \( k=\pm a d j A \quad k_{i j}=\pm \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}a_{1,1} & \\ & \ddots & a_{n, n}\end{array}\right) \)
\( E \mathbb{Z} \quad(\ddot{U} \)

Bitte beweise du jetzt von (1) nach (2).