Aussagen zu Determinanten in verschiedenen Körpern beurteilen.

Question

EDIT(Lu): Vorschläge / Versuche und Definitionen des Fragestellers in einem Kommentar unten. 

a)

b) 

c) 

d) 

e) 

zu b) würde ich sagen, dass es nicht stimmt, weil eine Matrix A mit Determinante 0 nicht invertierbar ist, aber dennoch det A in F_2 liegt.

Bitte um Hilfe.

Comments

https://www.mathelounge.de/248940/gelten-diese-aussagen-zu-determinanten

Hilft das?

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nicht wirklich. nur bei der d) komme ich weiter. Da ich andere Körper und zum Teil andere Aufgaben habe, komme ich leider damit nicht weiter. :/
Übrigens: in der frage meinte ich nicht die b) sondern die d)

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Bei d) kommt kein F_2 vor. Oder?

Worin besteht genau der Unterschied zu https://www.mathelounge.de/248940/gelten-diese-aussagen-zu-determinanten?show=249182#c249182 ?

Es wäre schön, wenn du hinschreiben könntest, was bei den vorhandenen Fragen nun erledigt ist. Doppelte Antworten brauchst du ja dann doch nicht...

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ok ich versuch mal die Aufgaben zu "lösen":

a) Wenn A die Einheitsmatrix ist, dann ist A^2 ebenfalls die Einheitsmatrix. det A ist dann auch gleich 1.
Hier weiß ich zB nicht, wie ich es für alle Matrizen überprüfen kann.
Vermutung : Aussage stimmt

b) Wenn die Determinante einer Matrix gleich 0 ist, dann ist sie nicht invertierbar, aber liegt dennoch in F₂.
Vermutung: Aussage stimmt

c) Wenn ich die Matrix A= ( (0,1) (1,0) ) wähle: Es liegt in R. Die einzelnen Zahlen in der Matrix liegen in Q. Die Determinante ist gleich -1, was wieder in Q liegt. Hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob die Zahlen, die in Q liegen, Brüche sein müssen, die man nicht vereinfachen kann.
Vermutung: Aussage stimmt.

d) Hier habe ich leider mit der allgemeinen linearen Gruppe Schwierigkeiten.

e) Gegenbeispiel: Matrix A = ( (0,1) (1,0) ): Die Matrix liegt in R, aber die Determinante ist gleich -1.
Vermutung: Aussage stimmt nicht

BITTE trotzdem um HILFE ! Bin mir sehr unsicher bei den Aufgaben. Es wäre nett, wenn ihr miene Fehler verbessert und das Richtige hinschreibt.
VIELEN DANK!

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@ Gast:

Zu a):

Gegenbeispiel:

A=
1 0

0 -1

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Deine Aussage

Wenn A die Einheitsmatrix ist, dann ist A² ebenfalls die Einheitsmatrix.

ist zwar richtig,  hier ist es aber anders herum.

A² ist  die Einheitsmatrix.  Kann also so sein, wie bei dem

gegebenen Gegenbeispiel.

Da ist A^2 = E aber  A ungleich E.

Answer 1

dein Problem bei d) ist schnell gelöst:

Nimm für A und B die 0-Matrix, dann sind auch

die Det. beide 0 und es ist  A*B= 0*E = Nullmatrix.

Aber die Nullmatrix ist nicht invertierbar, also nicht in

der allg. lin. Gruppe.