1. Aufgabe:
Sei \( V \) der ℂ-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen \( \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) (eine Funktion \( \phi=u+i v,(u, v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ) heißt differenzierbar, wenn \( u \) und \( v \) differenzierbar sind, und es gilt für die Ableitung \( \left.\phi^{\prime}=u^{\prime}+i v^{\prime}\right) \)
Sei \( D: V \rightarrow V \) definiert durch \( D(\phi)=\phi^{\prime} \) für alle \( \phi \in V \). Sei
\( F(x)=\prod \limits_{i=1}^{t}\left(x-\lambda_{i}\right)^{e_{i}} \)
wobei \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{t} \in \mathbb{C}, \lambda_{i} \neq \lambda_{j} \) für alle \( i \neq j, e_{i} \geq 1 \) für alle \( i \) )
Dann ist \( F(D) \in \) End \( _{\mathbb{C}}(V) \) und mit
\( F(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \)
\( \left(a_{0}, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right) \) gilt für alle \( \phi \in V: \)
\( F(D)(\phi)=\phi^{(n)}+a_{n-1} \phi^{(n-1)}+\ldots+a_{1} \phi^{\prime}+a_{0} \phi \)
wobei \( \phi^{(i)} \) die \( i \)-te Ableitung von \( \phi \) bezeichnet.
a) Sei \( \phi \in V \). Zeigen Sie: \( F(D)(\phi)=0 \) genau dann wenn für alle \( 1 \leq i \leq t \) ein \( \phi_{i} \in V \) existiert mit \( \left(D-\lambda_{i} i d\right)^{\epsilon_{i}}\left(\phi_{i}\right)=0 \) und \( \phi=\phi_{1}+\ldots+\phi_{t} \).
b) Seien \( \lambda \in \mathbb{C} \) und \( k \geq 1 \). Zeige für \( \phi \in V \) :
i) \( (D-\lambda i d)^{k}(\phi)(t)=e^{\lambda t} D^{k}\left(e^{-\lambda t \dot{\omega}(t)}\right) \) für alle \( t \in \mathbb{R} \).
ii) \( (D-\lambda i d)^{k}(\phi)(t)=0 \) genau dann wenn es \( b_{0}, \ldots, b_{k-1} \in \mathbb{C} \) gibt mit \( \phi(t)= \) \( e^{\lambda t}\left(b_{0}+b_{1} t+\ldots+b_{k-1} t^{k-1}\right) \)
Hinweis zu \( a \) : Benutzen Sie (ohne Beweis) den Primärzerlegungssatz, der später in der Vorlesung bewiesen wird, nämlich, dass für \( V_{i}:=\operatorname{Ker}\left(\left(D-\lambda_{i} i d\right)^{e_{i}}\right) \) gilt \( \operatorname{Ker}(F)(D)= \) \( V_{1} \oplus \ldots \oplus V_{t} \), wobei die \( V_{i} D \)-invariant sind.
