Beliebig oft differenzierbare Funktion

Question

Bei dieser Aufgabe benötige ich dringens Hilfe. Mir fehlt komplett der Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen könnte,

daher bin ich für jeden Vorschlag, Hinweis, etc. enorm dankbar:

Sei M: (ℝⁿ) ^k  → ℝ^m  eine symmetrisch k-multilineare Abbildung und definiere:

Θ: ℝⁿ  → ℝ^m  , Θ(ξ) := M(ξ,ξ,...,ξ).

Dann ist die Abbidung Θ beliebig oft differenzierbar.

DANKE

Answer 1

Weil Du es eilig hast, mache ich Dir mal ein Beispiel mit einem symmetrischen trilinearen \(M\): $$\Theta(\xi+h)-\Theta(\xi)=3M(\xi,\xi,h)+3M(\xi,h,h)+M(h,h,h)$$ $$\hphantom{\Theta(\xi+h)-\Theta(\xi)}=3M(\xi,\xi,h)+o(|h|).$$ Wir definieren durch \(M_1(x,y)(h):=M(x,y,h)\) ein symmetrisches bilineares \(M_1\) (selber eine lineare Abbildung!) und koennen damit \(\Theta'(\xi)=3M_1(\xi,\xi)\) schreiben.

Selbes Spiel wiederholen. Dazu $$\Theta'(\xi+h)-\Theta'(\xi)=6M_1(\xi,h)+3M_1(h,h)=6M_1(\xi,h)+o(|h|)$$ rechnen und \(M_2(x)(h):=M_1(x,h)\) definieren. Das gibt dann \(\Theta''(\xi)=6M_2(\xi)\).

Etc. Das Ganze geht wie Potenzen ableiten.

Preisfrage: Was ist \(\Theta'''\)? (Sofort anzugeben, ohne Rechnung.)

Comments

Ist die Aufgabe sozusagen durch Induktion über k zu lösen?

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θ'''(ξ) = 12M₃ (ξ)

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Könntest du kurz erklären wie du auf:

Θ(ξ+h)-θ(ξ)=3M (ξ,ξ,h) + 3M (ξ,h,h)+M (h,h,h) = 3M (ξ,ξ,h) + o(|h|) 

Kommst.

Das ist mir noch etwas unschlüssig ??

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θ'''(ξ) = 12M₃(ξ) 

Voellig falsch. \(\Theta'''(\xi)=6M_2\).

... Das ist mir noch etwas unschlüssig ??

Die Definition von Differenzierbarkeit musst Du kennen: \(f\) heisst im Punkt \(v\) differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung \(f'(v)\) mit \(f(v+h)-f(v)=f'(v)(h)+o(|h|)\) gibt.

Beim Rechnen mit \(\Theta(\xi)=M(\xi,\ldots,\xi)\) ist eben zu benutzen, dass \(M\) symmetrisch und multilinear ist. Kannst Du ueberhaupt ein einfaches Beispiel für so ein \(M\) angeben?

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ja z.B. f(x₁ , ... , x_n ) = x₁ · x₂ · ... ·  x_n

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Warum jetzt f? Das heisst doch schon M. Und wieso n? Die Stelligkeit von M war doch k. Jedenfalls siehst Du ja jetzt selber, dass das im einfachsten Beispiel auf Θ(ξ) = ξ^k und das Ableiten von Potenzen rauslaeuft.

Beim Rechnen mit \(M\) kannst Du Dich jedenfalls von diesem Beispiel leiten lassen. Es gilt allgemein $$M(a_1+a_2,b_1+b_2,\ldots)=M(a_1,b_1,\ldots)+M(a_1,b_2,\ldots)$$ $$\hphantom{M(a_1+a_2,b_1+b_2,\ldots)}+M(a_2,b_1,\ldots)+M(a_2,b_2,\ldots),$$ d.h. man kann "ausmultiplizieren". Ausserdem kann man die Argumente von \(M\) beliebig verpuzzeln. Stell Dir \(M\) als Produkt der Argumente vor und Du rechnest automatisch richtig. Entsprechend rechnet es sich auch mit \(\Theta\) als waere es eine Potenz. Zum Ausrechnen von \(\Theta(\xi+h)\) kann man die Binomialformel verwenden.

So. Jetzt noch ein kleiner Hinweis. Du erinnerst Dich bestimmt daran (haha...), was sich Leibniz und Newton seinerzeit alles anhoeren mussten. Leibniz etwa zu Differentialen hoeherer Ordnung (Unendlich kleine Aenderungen einer Groesse? Ok. Unendlich kleine Aenderungen von unendlich kleinen Aenderungen? Haeh?) oder Newton zu Fluxionen von Fluxionen (Was soll das sein? Die verschwindenden Geister von verschwundenen Geistern?).

Hoehere Ableitungen nach heutiger Interpretation sind auch nicht ohne. Wenn \(f:V\to W\) differenzierbar ist, dann ist \(f'(v)\in\operatorname{Hom}(V,W)\) für jedes \(v\). Falls auch noch \(f''\) existiert, dann ist \(f''(v)\in\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(V,W))\). Es geht weiter mit \(f'''(v)\in\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(V,\operatorname{Hom}(V,W)))\), etc. Nur für \(V=\mathbb{R}\) bleibt die Sache einfach, weil man hier jede lineare Abbildung \(h\mapsto ha\) einfach mit \(a\in W\) identifizieren kann. Damit bilden dann alle Ableitungen von \(\mathbb{R}\) nach \(W\) ab.

Zum Schluss noch eine Formel für das \(\Theta\) aus der Aufgabe: $$\Theta^{(\nu)}(\xi)(h)=k^{\,\underline\nu}M(\xi,\ldots,\xi,h,\cdot\,,\ldots,\cdot).$$ \(\xi\)s stehen \(k-\nu\) Stueck in dem \(M\), ein \(h\), und die restlichen Argumente (falls noch welche uebrig sind) bleiben "frei". Das gilt so bis \(\nu=k\). Noch hoehere Ableitungen sind null.

Ich wuensche noch viel Spass bei der Aufgabe. :)

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Könntest du mir mal eine beweisskizze skizzieren?

Ich bin reglich am verzweifeln

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Was noch? Ich hab's Dir für \(k=3\) vorgerechnet. Ich hab Dir erklaert, wie es sich mit \(M\) und \(\Theta\) rechnet. Ich hab Dir den Brainfuck mit den hoeheren Ableitungen erklaert. Ist das nicht Skizze genug?

Vielleicht ist aber in der Aufgabe gemeint: \(\Theta(\xi)\) ist beliebig oft partiell differenzierbar? Das kommt zwar am Ende auf das Gleiche raus, laueft aber in einem banaleren Rahmen ab. Hier für \(k=n=2\): $$\Theta{\xi_1\choose\xi_2}=M(\xi_1e_1+\xi_2e_2,\xi_1e_1+\xi_2e_2)$$ $$\hphantom{\Theta{\xi_1\choose\xi_2}}=\xi_1^2M(e_1,e_1)+2\xi_1\xi_2M(e_1,e_2)+\xi_2^2M(e_2,e_2).$$ Das ist ein Vektor mit \(m\) Komponenten und jede Koponente ist ein quadratisches Polynom in \(\xi_1\) und \(\xi_2\). Es ist klar, dass man da so oft nach \(\xi_1\) und \(\xi_2\) partiell ableiten kann, wie man will. Im Allgemeinfall entsprechend.

Was also nun?