Geben Sie im folgenden eine beliebig oft differenzierbare Funktion

Question

edit mathef:    siehe Kommentare:   f : ℝ ---> ℝ

1. f1 hat unendlich viele Wendepunkte , aber keine Nullstelle.

Hier hab ich f(x)=sin(x)+2

2. f2 ist monoton wachsend , hat ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1.

3. f3 hat zwei verschiedene Nullstellen, a ber kein lokales Extremum.

4. f4  hat bei x=1 und x=2 einen Wendepunkt.

5. f′′(0)=0, und f5 ist eines trengmonotone Funktion ohne Nullstellen. 

Kann mir jemanden helfen?

Answer 1

f₂(x) = x². Du musst noch den passenden Definitionsbereich finden.

f₃(x) = 1/x² - 1

f₄¨(x) = (x-1)(x-2). Bestimme daraus ein geeignetes f₄(x).

f₅(x) = x³ + 1.  Du musst noch den passenden Definitionsbereich finden.

Comments

aber wenn in der aufgabe steht geben sie eine beliebig oft differnzierbare Funktion an darf ich da einen defintionsbereich bestimmen ?

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Sonst müsste da stehen:   auf ganz ℝ beliebig oft differenzierbar.

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R → R mit den gewuünschten Eigenschaften an, oder beweisen Sie, warum es nicht moöglich ist das steht noch da also beidenen die einen Definitionsbereich haben ist es nicht möglich ?

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Jede Funktion hat einen Definitionsbereich. Also hast du das Recht, bei von dir definierten Funktionen diesen selbst festzulegen. Anders sähe das aus, wenn in der Aufhgabenstellung stehen würde äuf ganz IR beliebig oft differenzierbar¨. Aber dann wäre 3. Nicht lösbar.

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Warum wäre dann 3 nicht lösbar ?

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Eine Funktion, die auf ganz ℝ differenzierbar ist, ist auch auf ganz ℝ stetig. Das ist eine Folgerung aus der Definition der Differenzierbarkeit.

Hat eine auf ganz ℝ stetige Funktion zwei Nullstellen, dann ist sie auch auf dem abgeschlossenen Intervall zwischen diesen Nullstellen stetig. Das ist eine Folgerung aus der Definition der Stetigkeit.

Ist eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall stetig, dann nimmt sie ihr Maximum und ihr Minimum an. Das  besagt derr Satz vom Minimum und Maximum. Das heißt es gibt zu dem Intervall [x₁, x₂] ein x₃ ∈ [x₁, x₂], so dass f(x₃) = sup {f(x) | x∈[x₁, x₂]} ist. bei diesem x₃ hat die Funktion ein lokales Extremum.

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> R → R ...

Damit ist der Definitionsbereich festgelegt und du darft da nicht mehr dran rumpfuschen.

Was hat dich veranlasst, diese Angabe zu ignorieren?

Answer 2

2. f2 ist monoton wachsend , hat ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1.

f(x) = x mit Definitionsbereich [0;1]

3. f3 hat zwei verschiedene Nullstellen, aber kein lokales Extremum.

f(x) = -1 + 1/x² 

4. f4  hat bei x=1 und x=2 einen Wendepunkt.   f(x) = (x-1)³*(x-2)³ 

5. f ′′(0)=0, und f5 ist eines strengmonotone Funktion ohne Nullstellen. 

f(x)= x³ + 2 mit Definitionsbereich  [-1 ; ∞ [

Comments

oh hier aber wieder die frage wenn in der aufgabe steht eine beliebig oft differnzierbare Funktion darf ich dann einen Definitionsbereich angeben?

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wenn da steht     R → R

kann man den Def. bereich nicht frei wählen, sondern 

er muss ganz R sein.

Dann geht es aber nicht in allen Fällen .

2. f2 ist monoton wachsend , hat ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1.

Da es nicht streng monoton wachsend sein muss, ginge das mit der Konstanten:

f(x) = 1 für alle x∈ℝ. Das hat überall Maxima bzw. Minima.

3. f3 hat zwei verschiedene Nullstellen, aber kein lokales Extremum.

Das geht dann nicht.

4. f4  hat bei x=1 und x=2 einen Wendepunkt.           s.o.

5. f′′(0)=0, und f5 ist eine   strengmonotone Funktion ohne Nullstellen. 

Das geht dann wohl auch nicht.

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Also:

f : ℝ ---> ℝ

1. f1 hat unendlich viele Wendepunkte , aber keine Nullstelle.

f1 (x)=sin(x)+2

2. f2 ist monoton wachsend , hat ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 1.

f2(x) = 1 für alle x∈ℝ

3. f3 hat zwei verschiedene Nullstellen, a ber kein lokales Extremum.

geht nicht. wie begründe ich das?

4. f4  hat bei x=1 und x=2 einen Wendepunkt.

f(x) = (x-1)³*(x-2)³

5. f′′(0)=0, und f5 ist eines trengmonotone Funktion ohne Nullstellen. 

geht nicht. wie begründe ich auch das ?