Zeigen dass Matrizen kommutieren, d.h. AB = BA, wenn A+B+AB=0.

Question

Wie zeigt man das ? Danke  im Voraus.

5. Aufgabe: \( \left(8 \text { Punkte) Seien } n \in \mathbb{N}, K \text { Körper, } A, B \in M_{n}(K) . \text { Angenommen } A+B+\right. \) \( A B=0 \)
Zeigen Sie: \( A \) und \( B \) kommutieren, d.h. \( A B=B A \)

Answer 1

A + B + AB = 0 und wenn E die Einheitsmatrix ist,

E + A + B + AB = E

(E+A) + ( E + A)*B = E

(E + A) * ( E + B ) = E

also besitzt E+A die Inverse E+B und damit ist auch

(E + B) * ( E + A ) = E

E^2 + BE + EA + BA = E

E + B + A + BA  = E

B + A + BA  = 0 

zusammen mit der ersten Gleichung A + B + AB = 0 heißt das

B + A + BA  =  A + B + AB und wegen der kommutativität der Addition

A + B + BA = A + B + AB        | -A   -B 

BA = AB    q.e.d.

Comments

Anmerkung:

3. Zeile (E+A) + B * ( E + A) = E 

Müsste (E+A) + ( E + A) * B = E

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Danke, du hast recht.
die 4. Zeile ist aber wieder richtig.