Folgt aus AB=BA, dass B^{-1} A=AB^{-1} (Matrizen)

Question

bei meiner Aufgabe habe ich zwei Matrizen A,B gegeben, die symmetrisch und positiv definit sind und dessen Produkt kommutiert, also AB=BA.

Ich soll nun zeigen, dass B^-1A symmetrisch ist.

B^-1ist ja wieder symmetrisch. Folgt dann daraus auch, dass das Produkt kommutiert? Also B^-1A=AB^-1 oder gilt das nicht? Falls das der Fall sein sollte, wie sieht dann der Beweis dazu aus?

Wenn das gelten würde, dann wüsste ich, wie man zeigt, dass B^-1A symmetrisch. Wenn das nicht gilt, wie kann ich das sonst zeigen?

Danke

Answer 1

A *B = B * A

Wir multiplizieren beide Seiten von Rechts und links mit B^{-1}

B^{-1} * A * B * B^{-1} = B^{-1} * B * A * B^{-1}

Nun gilt ja B * B^{-1} = B^{-1} * B = E

B^{-1} * A * E = E * A * B^{-1}

und es gilt weiter E * A = A * E = A

B^{-1} * A = A * B^{-1}

Das war zu beweisen.