Bestimmen Sie alle Matrizen : AB=BA

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und n ∈ N. Bestimmen Sie alle Matrizen in der Menge

Z := {A ∈ Matn(K) | ∀B ∈ Matn(K) : AB = BA}.

Ich habe so gemacht und ich weiß nicht wie kann ich weitermachen..

AB = BA= (B.En).A ( En ist die Einheitsmatrix) und habe danach das Produkt zwischen die Klammern gerechnet und das ergibt, dass B eine Diagonalmatrix ist.

Ab hier weiß ich nicht wie kann ich weitermachen. Könnten vielleicht jemand mir dabei helfen?

Wäre sehr dankbar.

lG

Comments

und habe danach das Produkt zwischen die Klammern gerechnet und das ergibt, dass B eine Diagonalmatrix ist.

Kann nicht sein B*E_n = B

Answer 1

Es sind doch die Matrizen A gesucht, die mit allen anderen kommutieren.

Denk dir mal ein A und multipliziere es mit einer Matrix B,

die oben links eine 1 hat und sonst alles 0en.

Und vergleiche hier AB mit BA. Dann hast du schon mal:

1. zeile von A und 1. Spalte von A haben nur an Pos. 1

einen von 0 verschiedenen Wert

Dann lass mal die 1 in der 1. Zeile auf Platz 2 rücken

und vergleiche wieder AB und BA, dann erkennst du

an Platz 2 in der Diagonale muss die gleiche Zahl stehen

wie an Platz1 und in der 2. Zeile muss außer dem

Diagonalelement alles 0 sein.

Wenn du das fortsetzt siehst du: A muss einfach nur ein

Vielfaches der Einheitsmatrix sein.