Berechnung Kurvenintegral Vektorfeld entlang kurve, Grenzen

Question

Aufgabe: Kurvenintegral: Vektorfeld entlang eines Weges

Gegeben sei ein dreidimensionales Vektorfeld.

F(x,y,z) = (2xy, x²+z² ,2zy )

Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang des Weges r(t) = \( \begin{pmatrix} 1-t\\1+t\\3t \end{pmatrix} \) von r0\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) bis r1 \( \begin{pmatrix} 0\\2\\3 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe probiert das Kurvenintegral ganz normal zu lösen, sprich Feldvektor mit t ausdrücken, differenzieren nach t und Skalarprodukt mit der Differentation und nun habe ich ein Integral abhängig von t, aber wie setze ich die Grenzen, bzw. muss ich es auf 3 Integrale aufteilen und das obere Prozedere für einmal x, y , z machen und die grenzen wären dementsprechend 1-0, 1-2, 0-3 und ich addiere die Integrale? Ich wäre sehr dankbar für Hilfe!

Answer 1

Hallo,

ich weiß nicht genau, was du meinst. Der direkte Weg von \(r_0\) nach \(r_1\) ist gegeben durch \(\vec{\gamma} :\, [0,1]\to \mathbb{R}^3, \, t\mapsto \begin{pmatrix} 1-t\\1+t\\3t \end{pmatrix}\). Das ist übrigens eine Geradengleichung, wie du sie aus der Schule kennst. Also Stützvektor + t*Richtungsvektor. Dann nur zusammengerechnet:$$ \gamma (t)=\underbrace{\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{r_0}}+t\underbrace{\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\3 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{r_0r_1}} = \begin{pmatrix} 1-t\\1+t\\3t \end{pmatrix}$$

$$\begin{aligned} \int \limits_{\gamma} \vec{f} \cdot \mathrm{d} \vec{s} &=\int \limits_{0}^{1} \vec{f}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{\gamma}}{\mathrm{d} t} \mathrm{~d} t \\ &=\int \limits_{0}^{1}\left(\begin{array}{c}-2(t-1)(t+1) \\ (t-1)^{2}+9 t^{2} \\ 6 t(t+1)\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \mathrm{d} t \\ &=\int \limits_{0}^{1}\left(30 t^{2}+16 t-1\right) \mathrm{d} t \\ &=\left[t\left(10 t^{2}+8 t-1\right)\right]_{0}^{1} \\ &=17 \end{aligned} $$

Comments

Danke für die Tolle Antwort!

Nur noch eins, wie bist du auf die Integralgrenze [0,1] gekommen mithilfe der Vektoren r0 und r1?

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Ich habe nochmal ein bisschen was dazu geschrieben. Du guckst dir quasi eine Geradengleichung (wie in der Schule) als Parameterdarstellung an.

Stützvektor+t*Richtungsvektor.

Der Stützvektor ist in diesem fall r_0. Dann zeigt der Richtungsvektor von r_0 ausgehend in Richtung r_1. Das t ist nun ein Parameter, der uns in Prozent (von 0% bis 100%=1) angibt, wie weit der Richtungsvektor gestreckt wird. Er gibt also quasi an, wie nah wir bereits prozentual von r_0 zu r_1 gewandert sind.

Setz mal t=1 ein, du solltest bei r_1 rauskommen.