Kurvenintegral ∫C V(x)dx für das Vektorfeld V(x, y) = (x2y2, y)T .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die geschlossene Kurve C im R2, welche sich aus C1 und C2
zusammensetzt, wobei C1 die obere Hälfte des Kreises mit Radius 1 und Mittelpunkt (0,0) ist (d.h.
jener Teil des Kreises, dessen Punkte positive y–Koordinate haben), und C2 der Teil der x–Achse ist, der
die Punkte (−1, 0) und (1, 0) verbindet. Berechne das Kurvenintegral  ∫_C V(x)dx für das Vektorfeld V(x, y) = (x²y², y)^T .

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das Kurvenintegral von C1?

Answer 1

Aloha :)

Wir parametrisieren zuerst die beiden Wege:$$C_1\colon\vec r(\varphi)=\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}\;;\;\varphi\in(0|\pi)\quad;\quad C_2\colon\vec r(t)=\binom{-1+t}{0}\;;\;t\in[0|2]$$

Das Wegintegral über das Vektorfeld \(\vec v=\binom{x^2y^2}{y}\) ist nun:$$I=\int\limits_C\vec v\,d\vec r=\int\limits_{C_1}\vec v\,d\vec r+\int\limits_{C_2}\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^\pi\vec v(\varphi)\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi+\int\limits_0^2\vec v(t)\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi\binom{\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{\sin\varphi}\binom{-\sin\varphi}{\cos\varphi}\,d\varphi+\underbrace{\int\limits_0^2\binom{(-1+t)^2\cdot0^2}{0}\binom{1}{0}\,dt}_{=0}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi(-\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi(-\cos^2\varphi(1-\cos^2\varphi)\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi(-\sin\varphi\cos^2\varphi+\sin\varphi\cos^4\varphi+\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\left[\frac13\cos^3\varphi-\frac15\cos^5\varphi-\frac12\cos^2\varphi\right]_0^\pi=\left(-\frac13+\frac15-\frac12\right)-\left(\frac13-\frac15-\frac12\right)$$$$\phantom{I}=-\frac23+\frac25=-\frac{4}{15}$$

Comments

Dankeschön. Habs gestern auch nochmal versucht und bin auf die gleichen Schritte und auf das selbe Ergebnis wie du beim Kurvenintegral für die Kurve C2 gekommen. Nur verstehe ich nicht wie du beim Kurvenintegral für die Kurve C1 bei der Ableitung von sin(x)^2*cos(x)^2 auf -sin(x) kommst.

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Vorsicht, du leitest nicht das Vektorfeld \(\vec v\) nach \(\varphi\) ab, sondern die Parametrisierung des Ortsvektors:$$\vec r=\binom{\cos\varphi}{\sin \varphi}\implies\frac{d\vec r}{d\varphi}=\binom{-\sin\varphi}{\cos\varphi}$$$$\vec v=\binom{x^2y^2}{y}=\binom{\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{\sin\varphi}$$Diese beiden Vektoren musst du skalar multiplizieren:$$\vec v\cdot\frac{d\vec r}{d\varphi}=-\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin\varphi\cos\varphi$$zum einfachen Integrieren verwendest du dann:$$\sin^3\varphi=\sin^2\varphi\sin\varphi=(1-\cos^2\varphi)\sin\varphi$$Danach bekommst du die 3 leicht zu integrierenden Terme...

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Dankeschön :). Jetzt hab ich es verstanden und das war auch mein Fehler am Anfang und überhaupt warum ich nicht auf das richtige Ergebnis gekommen bin. Ich hab die ganze Zeit versucht das Vektorfeld anstatt der Parametriesierung abzuleiten. Jetzt stimmt alles und macht auch Sinn :)

Answer 2

$$Kurvenintegral \int \limits_{c}^{} V(X)dX =\int \limits_{a}^{b}V_{i}( C(t) ) * C_{i}'(t)dt \\ \text{ ----------------------------------------------------------------------------- } \\ V(X) = (x^2 * y^2, y) \\ C1(t) = (cos(t),sin(t)) \quad 0 <= t <= \pi\\ C1'(t)= (-sin(t),cos(t)) \\ \int \limits_{C1}^{} V(X)dX = \int \limits_{C1}^{} x^2 * y^2 dx + ydy = \\ \int \limits_{0}^{\pi} cos^2(t)*sin^2(t)*-sin(t) + sin(t) * cos(t) dt = -\frac{4}{15}\\ \text{ ----------------------------------------------------------------------------- } \\ C2(t) = (t,0) \quad -1 <= t <= 1\\ C2'(t)= (1,0) \\ \int \limits_{C2}^{} V(X)dX = \int \limits_{C2}^{} x^2*y^2dx + ydy =  0 $$

Comments

Dein V entspricht nicht der Aufgabe. V ist 2dimensional.

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Danke für den Hinweis.