Berechnen Sie das Kurvenintegral v=(x1+x2, x2+1)

Question

Hallo :) kann uns jemand mit der b und c helfen?
ich habs mit richtungsvektoren versucht, die sind aber bei 3 und 4 dann gleich und leider haben wir auch kein bsp. im Skirpt wie man das macht.


Liebe Grüße

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Gegeben ist das Vektorfeld \( v(x)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}+1\right)^{T} \) und die Kurven \( \Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{4} \) wie in der Zeichnung.
a) Skizzieren Sie das Vektorfeld \( v \).
b) Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int \limits_{\Gamma} v(x) d x \) für \( \Gamma=\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2} \cup \Gamma_{3} \).
c) Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int \limits_{K} v(x) d x \) für \( K=\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2} \cup \Gamma_{4} \).

Answer 1

Aloha :)

zu a) Das Vektorfeld \(\vec v(x;y)=\binom{x+y}{y+1}\) sieht so aus:

Zur Berechnung der beiden Wegintegrale benötigen wir Parameterisierungen der Etappen:

$$\Gamma_1\colon\;\vec r_1=\binom{1-t}{0}\;;\;t\in[0;1]\;\;\;\qquad;\quad\Gamma_2\colon\;\vec r_2=\binom{0}{-t}\;;\;t\in[0;1]$$$$\Gamma_3\colon\;\vec r_3=\binom{\cos t}{\sin t}\;;\;t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]\quad;\quad\Gamma_4\colon\;\vec r_4=\binom{t}{t-1}\;;\;t\in[0;1]$$Für jede einzelne Etappe bestimmen wir das Wegintegral:

$$I_1=\int\limits_{\Gamma_1}\binom{x+y}{y+1}\binom{dx}{dy}=\int\limits_0^1\binom{x(t)+y(t)}{y(t)+1}\binom{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}dt=\int\limits_0^1\binom{1-t}{1}\binom{-1}{0}dt$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^1(t-1)dt=\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_0^1=-\frac{1}{2}$$$$I_2=\int\limits_{\Gamma_2}\binom{x+y}{y+1}\binom{dx}{dy}=\int\limits_0^1\binom{x(t)+y(t)}{y(t)+1}\binom{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}dt=\int\limits_0^1\binom{-t}{-t+1}\binom{0}{-1}dt$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^1(t-1)dt=\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_0^1=-\frac{1}{2}$$$$I_3=\int\limits_{\Gamma_3}\binom{x+y}{y+1}\binom{dx}{dy}=\int\limits_{3\pi/2}^{2\pi}\binom{x(t)+y(t)}{y(t)+1}\binom{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}dt$$$$\phantom{I_3}=\int\limits_{3\pi/2}^{2\pi}\binom{\sin t+\cos t}{\sin t+1}\binom{-\sin t}{\cos t}dt=\int\limits_{3\pi/2}^{2\pi}(-\sin^2t+\cos t)dt=1-\frac{\pi}{4}$$$$I_4=\int\limits_{\Gamma_2}\binom{x+y}{y+1}\binom{dx}{dy}=\int\limits_0^1\binom{x(t)+y(t)}{y(t)+1}\binom{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}dt=\int\limits_0^1\binom{t+t-1}{t-1+1}\binom{1}{1}dt$$$$\phantom{I_4}=\int\limits_0^1(3t-1)dt=\left[\frac{3t^2}{2}-t\right]_0^1=\frac{1}{2}$$

Jetzt brauchen wir die Etappen nur noch zu addieren:$$I_a=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$$$I_b=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$$

Comments

Vielen Dank!!!

Answer 2

Hallo,

du müsstest zunächst die Kurven \(\Gamma_1,...,\Gamma_4\) parametrisieren. Bei \(\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_4\) handelt es sich um Geraden,die sich durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor charakterisieren lassen:$$\Gamma_1: [-1,0]\to \mathbb{R}, \, t\mapsto t\begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}$$$$\Gamma_2: [0,1]\to \mathbb{R}, \, t\mapsto t\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}$$$$\Gamma_4: [0,1]\to \mathbb{R}, \, t\mapsto \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$ Der Kreisbogen lässt sich auch leicht parametrisieren - du musst nur darauf achten, dass du denjenigen Teil im vierten Quadranten ansprechen möchtest (Intervall ändern):$$\Gamma_3: \left[\frac{3}{2}\pi,2\pi\right]\to \mathbb{R}, \, t\mapsto \begin{pmatrix} \cos(t)\\\sin(t) \end{pmatrix}$$ Schau mal hier, das könnte auch hilfreich sein, denn die Kurven sind geschlossen. Ansonsten musst du die Integrale aufsplitten.