Aufgabe:
Gegeben sei eine autonome zweidimensionale DGL $$x' = f(x)$$ mit $$f(x) = \begin{pmatrix} g(x_{1})\\h(x_{1})x_{2} \end{pmatrix}. $$Dabei sei $$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ lipschitz-stetig und $$h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ stetig.a) Zeigen Sie, dass die Funktion $$ \varphi : [0,T] \rightarrow \mathbb{R} , x \rightarrow \sqrt{x} $$ nicht lipschitz-stetig ist.b) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass diese Funktion die Voraussetzungen des Satz v. Picard-Lindelöf i.A. nicht erfüllt.c)Zeigen Sie, dass die Gleichung trotzdem für jede Anfangsbedingung eine eindeutige, globale Lösung besitzt.
Problem/Ansatz:Aufgabenteil a) ist kein Problem. Bei Aufgabenteil b) habe ich versucht, durch eine Variation der Wurzelfunktion für $$h(x_1)$$ zu einem Widerspruch der lokalen Lipschitz-stetigkeit bzgl. x zu kommen, aber zumindest mit der 2-Norm komme ich da nicht wirklich auf passende Funktionen. Bis jetzt war mein Ziel wie bei der Wurzelfunktion eine ähnliche Situation zu erzeugen, also dass im Nenner ein Term übrig bleibt, sodass wenn einzelne Komponenten gegen 0 streben, der ganze Term gegen unendlich strebt (Widerspruch zu lokaler lipschitz-stetigkeit), aber da komme ich nicht weiter. Bei Aufgabenteil c) hatte ich zuerst versucht, wie im Beweis vom Satz v. Picard-Lindelöf eine Kontraktion zu erhalten, die dann mit dem Fixpunktsatz eine eindeutige Lsg. hat (global würde ich mir später überlegen, wie das hinhaut), aber hier erscheint mir das Verfahren doch unsinnig, denn sonst könnte ich ja "rückwärts" schliessen, dass die Funktion ja doch lokal lipschitz-stetig bzgl. x wäre.
