Zeige, dass Funktion lipschitz-stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Funktionen f: U→ ℝ lipschitz-stetig sind. Geben Sie jeweils eine Lipschitz-Konstante an.

Welche Funktionen sind sogar Kontraktionen?

f(x) = \( \sqrt{1+2x} \)  U:= [0,3]

g(x) = x^2+4x+1   U:=[-4,1]

Problem/Ansatz:

Bin bei der ersten Funktion f(x). Zu zeigen ist ja || f(x) - f(y) || ≤ L||x-y|| ∀ x,y ∈ U
Habe das also eingesetzt:|| f(x) - f(y) || = || \( \sqrt{1+2x} \)  - \( \sqrt{1+2y} \) ||

Weiß aber leider nicht weiter. Kann mir jemand bitte bei der ersten Funktion helfen?

Comments

Ich habe jetzt für a) L-Konstante = 1 und für b) L = 6 rausbekommen.

Wie bekomme ich nun raus, ob beide Funktionen Kontraktionen sind oder nicht?

Hierfür muss ja L < 1 sein, allerdings habe ich oben ja nur zwei mögliche Konstanten, oder?

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Können Sie kurz erklären, wie sie auf die L-Konstanten gekommen sind? Ich habe andere Ergebnisse raus

Answer 1

Eine stetig differenzierbare Funktion ist immer lipschitz stetig. Bestimme also die obere Grenze von \( f' \) dann hast Du eine Lipschitzkonstante.

Comments

Danke für die Antwort.

Ich habe jetzt als Lipschitz-Konstante L = 1.

Damit ist ja noch zu zeigen:

|| f(x) - f(y) || ≤  ||x-y||

Wie kann ich das denn am besten abschätzen?

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Müsste es nicht eine obere Schranke für |f'| sein?

Gruß

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Wenn \( f \) differenzierbar ist gilt doch nach dem ZWS $$ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f'(\xi_{x,y})  $$

Wenn man jetzt eine obere Schranke für die Ableitung findet ist man fertig. In Deinem Fall ist die obere Schranke \( L = 1 \)

Damit ist die Lipschitzstetigkeit bewiesen und eine Lipschitzkonstante gefunden.

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Die Lipschitz-Stetigkeit ist mit Beträgen definiert. Hier im Beispiel ist "zufällig" die Funktion wachsend

Gruß

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Ja gut, dann eine obere Schranke für den Betrag der Ableitung.

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Wie kann man denn noch Kontraktion zeigen? Ich mein wenn unsere Konstanten beide über 1 sind, dann können beide Funktionen doch nicht mehr eine Kontraktion sein, oder?