Aloha :)
Dann schauen wir mal, ob wir zusammen die Kurve kriegen...
Zunächst brauchst du einen Ortsvektor \(\vec r\), der die Kurve abtastet. Die Kurve wird durch die Punktmenge \(M\) beschrieben, die wir uns etwas genauer ansehen:$$x^2+4y^2=1\implies 4y^2=1-x^2\implies y=\pm\frac12\sqrt{1-x^2}$$Wegen \((y\ge0)\) wird das negative Vorzeichen der Wurzel irrelevant. Damit die Wurzel definiert ist, muss \((-1\le x\le1)\) gelten. Wegen \((x\ge0)\) heißt das \((0\le x\le1)\) sein. Damit ist der Ortsvektor gefunden:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{x}{\frac12\sqrt{1-x^2}}\quad;\quad x\in[0;1]$$
Auf diesem Weg sollst du nun durch das Skalarfeld \(f(x;y)=xy\) laufen. Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld ergibt ein Vektorfeld. Der Vektorcharakter wird von dem Differential \(d\vec r\) getragen. Über Vektoren integriert man komponentenweise:
$$\vec I=\int\limits_0^1f(x;y)\,d\vec r(x)=\int\limits_0^1f(x;y)\,\frac{d\vec r}{dx}\,dx=\int\limits_0^1\underbrace{x\cdot\frac12\sqrt{1-x^2}}_{=x\cdot y}\binom{1}{-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}}\,dx$$$$\phantom{\vec I}=\int\limits_0^1\binom{\frac12x\sqrt{1-x^2}}{-\frac{x^2}{4}}\,dx=\left[\binom{-\frac16(1-x^2)^{3/2}}{-\frac{x^3}{12}}\right]_0^1$$$$\phantom{\vec I}=\binom{0}{-\frac{1}{12}}-\binom{-\frac16}{0}=\binom{\frac16}{-\frac{1}{12}}=\frac{1}{12}\binom{2}{-1}$$
