Berechnen Sie das Kurvenintegral f(x,y)=y

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x, y)=y \). Berechnen Sie das Kurvenintegral

\( \int \limits_{C} f \mathrm{~d} s . \)

Problem/Ansatz:

Ich habe schon Schwierigkeiten diese Kurve zu parametrisieren. Wäre diese nur rsin(phi)?

Comments

Hier ist keine Kurve gegeben. Zu einer Parametrierung gehört die Angabe eines Intervalls. Eigene Ideen dazu prüft man selbst durch Einsetzen. Raten oder Absegnung durch Experten ist nicht nötig.

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Von welcher Kurve C soll da die Rede sein ??

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Es fehlt die Angabe der Kurve \(C\).

1) Wenn keine Kurve in der Aufgabe vorgegeben ist, wähle den Weg vom Nullpunkt zum Nullpunkt und schreibe als Ergebnis Null auf.

2) Wenn eine Kurve in der Aufgabe vorgegeben ist, wäre es hilfreich, wenn du uns sie noch mitteilen würdest.

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F(x,y)=(x²+y²)3/2 -x

C=F^-1 ({0})

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Aha. Erster Schritt: Skizziere die Kurve.

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Tipp: Es ist

\( 3/2 \cdot (x^2+y^2) - x = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2/3 \cdot x + y^2 = 0 \Leftrightarrow (x-1/3)^2+y^2 = 1/9\), womit \(C\) ein Kreis mit Radius \(1/3\) um \((x,y)=(1/3,0)\) ist.

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Ist das ein \(ds\) oder ein \(d\vec s\) ?

Ein Kuvernintegral über ein Skalarfeld hat nämlich Vektorcharakter.

Daher frage ich lieber nochmal nach, bevor ich anfange zu rechnen.

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Das ist die übliche Schreibweise für Kurvenintegrale, ich sehe auch keinen "Vektorcharakter". Und rechnen soll ja der Frager (u.U. nachdem wir ihm auf die Sprünge geholfen haben).

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Es ist wie es da steht ds.

Ich hab die Skizze auch schon angefertigt und das auch mit polarkoordinaten.

Ich hab halt nur Probleme dieses integral überhaupt aufzustellen. In den Vorlesungen wurde das nicht ausreichend besprochen.

Ich bin mir nicht so sicher ob mein γ die oben stehende Kurve mit polarkoordinaten ist und was genau dann ƒ(γ) dann ist.

Answer 1

Das y ist nicht die Kurve. Stelle zuerst die Kurve auf (Hinweise s.o. in den Kommentaren). Wenn Du die Skizze gemacht hast, siehst Du (spätestens dann), dass die Kurve in \(\R^2\) liegt. Weitere Hinweise auch oben in den Kommentaren.
Zum Integral selbst: Def. ist \(\int\limits_a^b f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\, dt\). Das steht garantiert auch, mit Def. der Begriffe, in Deinen Unterlagen. Einsetzen und ausrechnen. Dazu braucht man auch keine weiteren Erläuterungen. Ist ja nur stupides Einsetzen und Ausrechnen.

Also, erster Schritt: Wie lautet Deine Kurve?

Comments

Ich hab r=√cos(t)

Meine Kurve ist  dann \( \begin{pmatrix} \sqrt{cos(t)} cos(t)\\ \sqrt{cos(t)}  sin(t)\\ \end{pmatrix} \)

Und f(γ)= √cos(t) sin(t) ?

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Hinweise beachten! Wo ist das Intervall? Hast Du Deine Kurvendarstellung getestet? Mit welchem Ergebnis? Wie die Kurve aussieht, ist Dir ja schon verraten worden. Danach geht es weiter mit dem Integral.

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Wie die Kurve aussieht, ist Dir ja schon verraten worden

Hier passt was nicht zusammen.

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Dass die Parameterdarstellung nicht stimmt und Polarkoordinaten nicht sinnvoll ist, hast Du ja vielleicht gemerkt.

Der Tipp in den Kommentaren hat ja die Kurve geometrisch schon geklärt. Eine vernünftige Parameterdarstellung ist damit

\(\gamma(t)=\binom{1/3}0 + \frac13\binom{\cos t}{\sin t}\) mit \(t\in [0,2\pi]\).

Damit ist \(\|\gamma'(t)\| = \frac13\) und \(f(\gamma(t))=\frac13\sin t\) und damit

\(\int_\gamma f\, ds =\int\limits_0^{2\pi} \frac19\sin t\, dt =0\), fertig.

PS: Ich bin dabei von \(F(x,y)=\frac32(x²+y²)-x\) ausgegangen.

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Du gehst offenbar von der Funktion  F(x,y)=(x²+y²)3/2 -x als F(x,y)=(x²+y²)*3/2 -x aus, die man aber üblicherweise als  F(x,y)=3/2*(x²+y²) -x schreiben würde.

T interpretiert demgegenüber  F(x,y)=(x²+y²)3/2 -x als  F(x,y)=(x²+y²)^3/2 -x.
Dies meint wohl auch der FS, denn nur dann ist seine Parameterdarstellung richtig.
Die Antwort mit Bezug auf die andere Version dann aber als beste auszuzeichnen veranlasste mich zu meinem Kommentar  Hier passt was nicht zusammen.

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tatsächlich habe ich mich gestern vertippt die 3/2 steht ihm Exponenten.Tut mir leid für die Verwirrung

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Ja, jetzt haben wir's auch gemerkt. Es hätte Dir gleich beim Tipp oben zur Kurve (Kreis um... ) auffallen können, der Tipp passt dann nämlich nicht, dann hätten wir alle zielgerichteter helfen können.

Answer 2

Aloha :)

Der Weg \(C\) enthält alle Punkt \((x;y)\), die die Funktion$$F(x;y)=(x^2+y^2)^{3/2}-x$$zu Null machen. Wir wählen zur Beschreibung dieser Kurve Polarkoordinaten:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\ge0\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Die zu erfüllende Bedingung lautet damit:$$(x^2+y^2)^{3/2}=x\implies(r^2)^{3/2}=r\cos\varphi\implies r^3=r\cos\varphi\stackrel{r>0}{\implies}r^2=\cos\varphi$$Damit haben wir den Weg parametrisiert:$$C\colon\vec r=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}=\binom{|\cos\varphi|\cos\varphi}{|\cos\varphi|\sin\varphi}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Da die Sinus- und Cosinus-Funktionen beide \(2\pi\)-periodisch sind, ist die Kurve geschlossen. Zur Bestimmung des Integrals ist daher der Startpunkt egal. Wir wählen \((\varphi=0)\) als Start- und \((\varphi=2\pi)\) als Endpunkt.$$I=\int\limits_Cf(\vec r)\,dr=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}f(\vec r(\varphi))\left\|\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\right\|d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\left\|\frac{d}{d\varphi}\binom{\cos^2\varphi}{\cos\varphi\sin\varphi}\right\|d\varphi+\int\limits_{3\pi/2}^{2\pi}\cos\varphi\sin\varphi\left\|\frac{d}{d\varphi}\binom{\cos^2\varphi}{\cos\varphi\sin\varphi}\right\|d\varphi$$$$\phantom I+\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}-\cos\varphi\sin\varphi\left\|\frac{d}{d\varphi}\binom{-\cos^2\varphi}{-\cos\varphi\sin\varphi}\right\|d\varphi$$Wegen der Vektornorm spielen die negativen Vorzeichen in den Vektorkomponenten beim dritten Integral keine Rolle. Es reicht daher Folgendes zu bestimmen:$$\phantom=\left\|\frac{d}{d\varphi}\binom{\cos^2\varphi}{\cos\varphi\sin\varphi}\right\|=\left\|\binom{-2\sin\varphi\cos\varphi}{\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}\right\|=\sqrt{4\sin^2\varphi\cos^2\varphi+(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)^2}$$$$=\sqrt{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)^2}=\sqrt{1^2}=1$$um das Integral stark vereinfachen zu können:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi+\int\limits_{3\pi/2}^{2\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi-\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi$$$$\phantom I=\left[\frac12\sin^2\varphi\right]_0^{\pi/2}+\left[\frac12\sin^2\varphi\right]_{3\pi/2}^{2\pi}-\left[\frac12\sin^2\varphi\right]_{\pi/2}^{3\pi/2}$$$$\phantom I=\left(\frac12-0\right)+\left(0-\frac12\right)-\left(\frac12-\frac12\right)=0$$

Comments

Warum hast du nicht die Parametrisierung des FS übernommen ?

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Schönes Beispiel dafür wie unnötig aufwendig es wird, wenn man eine ungünstige Kurvendarstellung verwendet. Warum?

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Ich schätze, dass erst mal Einigung darüber hergestellt werden muss, um welche Kurve es denn überhaupt geht.

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@hj2166 Achja, Du hast recht, in dem Tipp wird es als "mal 3/2" gelesen, darauf habe ich auch gesetzt. Wenn man es als "hoch 3/2" liest, ist die Sache anders.

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Ist eigentlich aufgefallen, dass T mit der falschen Parametrisierung gearbeitet hat?

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Ist dir aufgefallen, dass ich ihn darauf angesprochen habe ?