Integralkriterium für Reihen

Question

Aufgabe:

Sei \( f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty) \) eine stetig differenzierbare Funktion mit \( f^{\prime} \) monoton fallend, \( f^{\prime} \geq 0 \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0 \). Beweisen Sie, dass
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)<\infty \text { genau dann, wenn } \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{\prime}(n)}{f(n)}<\infty . \)

Problem/Ansatz:

Wir haben die Aufgabe mit dem Integralkriterium für Reihen versucht zu lösen, kommen aber auf kein Beweis

Answer 1

Integralkriterium ist doch gut und zielführend.

Wende es auf die linke Seite an und finde eine dazu äquivalente Bedingung.

Rechne dann das Integral rechts aus (über Stammfunktion) bzw. formuliere eine äquivalente Bedingung, dass es konvergiert.

Vergleiche beide Bedingungen. Fertig.

Comments

Das hatte ich auch versucht. Und kam dann darauf, dass Σƒ(n) kleiner unendlich ist, aber da fehlt doch dann noch etwas oder nicht?

Und in der Rückrichtung fehlt mir genauso der letzte Schritt

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Nein, das ist nicht die Bedingung. Genau lesen, auf jedes Zeichen achten.

Ich hab Dir oben zwei Schritte erklärt. Gehe danach vor und lade Dein Rechnung hoch, soweit Du gekommen bist. Sind zwei getrennte Schritte. Es gibt dabei auch keine Rückrichtung, am Ende wird ja direkt die Äquivalenz erzielt.

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\( \sum \limits_{1}^{\infty} f^{\prime}(n) \quad \Longleftrightarrow \sum \limits_{1}^{\infty} \frac{f^{\prime}(n)}{f(n)} \)
\( \int \limits_{1}^{\infty} f^{\prime}(n) d n=\left.f(n)\right|_{1} ^{\infty}+c \Leftrightarrow \int \limits_{1}^{\infty} f^{\prime}(n) d n=\log \left(f(n)+\left.c\right|_{1} ^{\infty}\right. \)

Das wäre halt erstmal meine Rechnung, wenn ich das Integralkriterium anwende. Laut Kriterium sollten diese Integrale ja auch konvergieren, aber wie soll ich das zeigen?

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Ich weiß  nicht, was Du da machst. Zu Deiner ersten Zeile: Eine Reihe ist nie äquivalent zu irgendwas, weil es ein Term und keine Aussage ist.

Nochmal: Schritt 1: Wende das IK auf die linke Seite an (also auf die Reihe), was erhältst Du? Eine Äquivalenz. Welche, und warum? Prüfe die Voraussetzungen.

Danach geht's weiter.