Integralkriterium bei Reihen

Question

Wie berechne ich diese Reihe anhand eines Integralkriteriums?

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot ln^{(n)} n} \)

Für wellere \( \alpha \in \mathbb{R} \) konvergiert die Reihe.

\( f(x)=\frac{1}{x \ln ^{a} x}\)

Zeige zuerst, dass die Funktion genügend große Werte von x monoton fallend ist

Answer 1

Hi,

das Integral kannst du hier als Majorant verwenden. Vorher kannst du aber schon mit einer Abschätzung durch die harmonische Reihe zeige, dass alpha größer als 0 sein muss.

Es gilt also zu zeigen für welche alpha, das unbestimmte integral existiert:

$$ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(ln(x))^{\alpha}}dx$$, hier kannst du Substitution verwenden: z = lnx,

dann schaust du für welche alpha das Integral endlich ist. Dann konvergiert für diese alpha auch die Summe, da gilt

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(ln(n))^{\alpha}} \leq \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(ln(x))^{\alpha}}dx$$