Antwort mit KI erzeugt
Kurvenintegral mit Parametrisierung
Um das gegebene Kurvenintegral \(\int_K xy - y^2 \, dy\) zu lösen, bei dem \(K\) zunächst entlang \(y = \cos(x)\) von \((0,1)\) nach \((\frac{\pi}{2},0)\) und dann entlang der Strecke von \((\frac{\pi}{2},0)\) nach \((0, -\frac{\pi}{2})\) verläuft, müssen wir die Kurve in zwei Teile aufteilen und für jeden Teil separat parametrisieren.
Teil 1: Längs \(y = \cos(x)\) von \((0,1)\) nach \((\frac{\pi}{2},0)\)
Für den ersten Teil entlang \(y = \cos(x)\), können wir \(x\) direkt als den Parameter \(t\) wählen, wobei \(t\) im Intervall \([0, \frac{\pi}{2}]\) variiert. Somit erhalten wir:
- \(x(t) = t\)
- \(y(t) = \cos(t)\)
Da das Integral in Bezug auf \(dy\) ist, brauchen wir auch \(dy\). Um \(dy\) zu finden, differenzieren wir \(y(t)\) nach \(t\):
- \(\frac{dy}{dt} = -\sin(t)\)
Daher ist das Differential \(dy = -\sin(t) dt\).
Wir setzen \(x(t) = t\), \(y(t) \), und \(dy\) in das Integral ein:
\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (t\cos(t) - \cos^2(t))(-\sin(t)) \, dt\)
Das Integral muss für diese Grenzen gelöst werden, aber ohne spezifische Anweisung werden wir es nicht weiter vereinfachen.
Teil 2: Längs der Strecke von \((\frac{\pi}{2},0)\) nach \((0, -\frac{\pi}{2})\)
Für den zweiten Teil entlang der geraden Linie können wir eine lineare Parametrisierung verwenden, die die Punkte verbindet. Die Linie kann geschrieben werden als \(y = mx + c\), wobei \(m\) die Steigung ist (die wir berechnen können) und \(c\) der y-Achsenabschnitt (den wir ebenfalls berechnen können).
Da wir den Path von \((\frac{\pi}{2},0)\) nach \((0, -\frac{\pi}{2})\) haben, erkennen wir, dass die Steigung \(m\) ist:
- \(m = \frac{0 - (-\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2} - 0} = \frac{\pi}{\pi} = 1\)
Da der Pfad eine direkte Linie ist, kann eine einfache Interpolation zwischen den x-Werten und y-Werten verwendet werden. Eine mögliche Parametrisierung ist deshalb:
- \(x(t) = \frac{\pi}{2} - t\), wobei \(t\) variiert von \(0\) bis \(\pi\).
- \(y(t) = t - \frac{\pi}{2}\), da wenn \(x(t) = \frac{\pi}{2}\), \(y(t) = 0\) und wenn \(x(t) = 0\), \(y(t) = -\frac{\pi}{2}\).
Differenzieren wir \(y(t)\), um \(dy\) zu erhalten:
- \(dy = dt\)
Dann setzen wir \(x(t)\) und \(y(t)\) in das Integral ein:
\(
\int_{0}^{\pi} \left((\frac{\pi}{2} - t)(t - \frac{\pi}{2}) - (t - \frac{\pi}{2})^2\right) \, dt
\)
Beide Integrale stellen unterschiedliche Teile der Kurve dar und müssen separat gelöst werden, wobei die Ergebnisse addiert werden, um das gesamte Kurvenintegral zu erhalten.
