Hallo Leute!
Es handelt sich um das Kurvenintegral 1. Art. Ich habe hier zwei Aufgaben gerechnet. Könnte kurz jemand einen Blick werfen und mir einen Rückmeldung geben, ob ich alles richtig gerechnet habe? Ich weiß, dass man auch WolframAlpha zur Kontrolle solcher Aufgaben benutzen kann, aber ich kam damit nicht ganz zurecht.
Aufgabe:
e) Seien
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 3 t \end{array}\right) \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
f) Seien
\( \gamma:[1, \sqrt{2}] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} \frac{3 t^{2}}{2} \\ 2 t^{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto \sqrt{\frac{x y}{3}} . \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
Problem/Ansatz:
\( \begin{array}{l}\text { e) } f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\ \gamma \cdot[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{l}\cos (t) \\ \sin (t) \\ 3 t\end{array}\right) \\ \int \limits_{\gamma} f d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} f(\gamma(t))\|j(t)\| d t \\ \dot{\gamma}(t)-\left(\begin{array}{c}-\sin (t) \\ \cos (t) \\ 3\end{array}\right) \\ \|\dot{\gamma}(t)\|=\sqrt{(-\sin (t))^{2}+(\cos (t))^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} \\ f(\gamma(t))=\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)+(3 t)^{2}=1+9 t^{2} \\ \Rightarrow \int \limits_{0}^{2 \pi}\left(1+9 t^{2}\right) \sqrt{10} d t=\sqrt{10} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left(1+9 t^{2}\right) d t= \\ \sqrt{10} \cdot\left[t+\frac{9 t^{3}}{3}\right]_{0}^{2 \pi}=\sqrt{10} \cdot\left[t+3 t^{3}\right]_{0}^{2 \pi}= \\ \sqrt{10} \cdot\left[\left(2 \pi+3(2 \pi)^{3}\right]=\sqrt{10} \cdot[(2 \pi+24 \pi)\right. \\ =\sqrt{10} \cdot 26 \pi \\\end{array} \)
\( \begin{array}{l}\text { f) } \gamma:[1, \sqrt{2}] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c}\frac{3 t^{2}}{2} \\ 2 t^{2}\end{array}\right) \\ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{1}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto \sqrt{\frac{x y}{3}} \\ S_{\gamma} f \cdot d s=\int \limits_{1}^{\sqrt{2}} f(\gamma(t)) \cdot\|j(t)\| d t= \\ \dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}3 t \\ 4 t\end{array}\right) ; \quad \begin{aligned}\|\dot{\gamma}(t)\| & =\sqrt{(3 t)^{2}+(4 t)^{2}} \\ & =\sqrt{9 t^{2}+16 t^{2}}\end{aligned} \\ =\sqrt{25 t^{2}}=5 t \\ f(\gamma(t))=\sqrt{\frac{\frac{3 t^{2}}{2} \cdot\left(2 t^{2}\right)}{3}} \\ =\sqrt{\frac{3 t^{4}}{3}}=t^{2} \\ \Rightarrow \int \limits_{1}^{\sqrt{2}}\left(t^{2} \cdot 5 t\right) d t=5 \cdot \int \limits_{1}^{\sqrt{2}} t^{3} d t= \\ 5 \cdot\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{1}^{\sqrt{2}}=5 \cdot\left[\frac{(\sqrt{2})^{4}}{4}-\frac{1}{4}\right] \\ =5\left[\frac{4}{4}-\frac{1}{4}\right]=5 \cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{4} \\\end{array} \)
