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Hallo!

Es handelt sich wieder um Kurvenintegrale. Ich habe hier die beiden Aufgaben gelöst, aber bei f) bin ich mir nicht sicher, ob das Ergebnis so stimmt. Kann das so stimmen? Ich habe bei f) nicht die vollständige Rechnung hochgeladen, nur ein Teil davon, da ich mir nicht sicher bin, ob das Ergebnis überhaupt so stimmt.

Aufgabe:

l) Seien
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x y \\ z \\ x+y+z \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 t \\ -1 \\ t^{2} \end{array}\right) \text {. } \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
f) Seien
\( \gamma:[1, \sqrt{2}] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} \frac{3 t^{2}}{2} \\ 2 t^{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x-y \\ x+y \end{array}\right) \text {. } \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).


Ansatz:

l) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x y \\ z \\ x+y+z\end{array}\right) \)
\( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c}2 t \\ -1 \\ t^{2}\end{array}\right) \)
\( \gamma=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2 t\end{array}\right) \quad \neq(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}-2 t \\ t^{2} \\ 2 t-1+t^{2}\end{array}\right) \)
\( \int \limits_{\gamma}\left\langle F_{1} d x\right\rangle=\int \limits_{0}^{1}\left\langle\left(\begin{array}{l}-2 t \\ t^{2} \\ 2 t-1+t^{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2 t\end{array}\right)\right\rangle d t= \)
\( \int \limits_{0}^{1}\left(-4 t+0+4 t^{2}-2 t+2 t^{3}\right) d t= \)
\( =\int \limits_{0}^{1}\left(2 t^{3}+4 t^{2}-6 t\right) d t=2 \frac{t^{4}}{4}+4 \frac{t^{3}}{3}-6 \frac{t^{2}}{2} \mid \)
\( =2 \frac{t^{4}}{4}+4 \frac{t^{3}}{3}-\left.6 \frac{t^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}= \)
\( =\frac{t^{4}}{2}+4 \frac{t^{3}}{3}-\left.3 t^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-3 \)
\( =\frac{3}{6}+\frac{8}{6}-\frac{18}{6}=-\frac{7}{6} \)


f)

\( =\frac{9 t^{3}}{2}-\frac{12 t^{3}}{2}+\frac{12 t^{3}}{2}+\left.\frac{16 t^{3}}{2}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}= \)
\( =\left.\frac{25 t^{3}}{2}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}=\frac{25 \cdot(\sqrt{2})^{3}}{2}-\frac{25}{2}= \)

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Hallo

in f bekomme ich lauter Terme mit t^3 im Integral?  wie kommst du denn auf deine integrierten Ergebnisse? Was ist dein f(γ(t))

Gruß lul

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Hallo lul!

Ich greife hier wieder zurück. Ich habe nun die Aufgabe erneut gerechnet und komme auf das folgende Ergebnis. Passt das so?

\( \begin{array}{l}\text { f) } \gamma:[1, \sqrt{2}] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c}\frac{3 t^{2}}{2} \\ 2 t^{2}\end{array}\right) \\ f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}_{1}^{2}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}x-y \\ x+y\end{array}\right) \\ \dot{\gamma}=\left(\begin{array}{l}3 t \\ 4 t\end{array}\right) \quad f(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}\frac{3 t^{2}}{2}-2 t^{2} \\ \frac{3 t^{2}}{2}+2 t^{2}\end{array}\right) \\ \Rightarrow \int \limits_{\gamma}\left\langle f_{1} d s\right\rangle=\int \limits_{1}^{\sqrt{2}}\left\langle\left(\begin{array}{c}\frac{3 t^{2}}{2}-2 t^{2} \\ \frac{3 t^{2}}{2}+2 t^{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}3 t \\ 4 t\end{array}\right)\right. \\ =\int \limits_{1}^{1 /}\left(\frac{3 t^{2}}{2}-2 t^{2}\right) 3 t+\left(\frac{3 t^{2}}{2}+2 t^{2}\right) 4 t d t \\ =\int \limits_{1}^{\sqrt{2}}\left(\frac{9 t^{3}}{2}-6 t^{3}\right)+\left(\frac{\frac{12 t^{3}}{2}}{6 t^{3}}+8 t^{3}\right) d t= \\ =\left[\left(\frac{9 t^{4}}{8}-\frac{6 t^{4}}{4}\right)+\left(\frac{6 t^{4}}{4}+\frac{8 t^{4}}{4}\right)\right]_{1}^{\sqrt{2}} \\\end{array} \)

\( \begin{array}{l}{\left[\frac{9 t^{4}}{8}+\frac{8 t^{4}}{4}\right]_{1}^{\sqrt{2}}=\left[\frac{9 t^{4}}{8}+\frac{16 t^{4}}{8}:\right]_{1}^{\sqrt{2}}=} \\ \left.=\left[\left(\frac{36}{8}+\frac{64}{8}\right)-\frac{9}{8}-\frac{16}{8}\right)\right]=\frac{75}{8}\end{array} \)

Könnte mir jemand mal eine kurze Rückmeldung geben bzgl. der Lösung? Eine kurze Rückmeldung würde mir reichen.

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Hallo,

Ich habe auch \( \frac{75}{8} \) erhalten.

Avatar von 121 k 🚀

Dankeschön für deine Rückmeldung Grosserloewe :)

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