Hallo!
Es handelt sich wieder um Kurvenintegrale. Ich habe hier die beiden Aufgaben gelöst, aber bei f) bin ich mir nicht sicher, ob das Ergebnis so stimmt. Kann das so stimmen? Ich habe bei f) nicht die vollständige Rechnung hochgeladen, nur ein Teil davon, da ich mir nicht sicher bin, ob das Ergebnis überhaupt so stimmt.
Aufgabe:
l) Seien
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x y \\ z \\ x+y+z \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 t \\ -1 \\ t^{2} \end{array}\right) \text {. } \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
f) Seien
\( \gamma:[1, \sqrt{2}] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} \frac{3 t^{2}}{2} \\ 2 t^{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x-y \\ x+y \end{array}\right) \text {. } \)
Bestimme das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
Ansatz:
l) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x y \\ z \\ x+y+z\end{array}\right) \)
\( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c}2 t \\ -1 \\ t^{2}\end{array}\right) \)
\( \gamma=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2 t\end{array}\right) \quad \neq(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}-2 t \\ t^{2} \\ 2 t-1+t^{2}\end{array}\right) \)
\( \int \limits_{\gamma}\left\langle F_{1} d x\right\rangle=\int \limits_{0}^{1}\left\langle\left(\begin{array}{l}-2 t \\ t^{2} \\ 2 t-1+t^{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2 t\end{array}\right)\right\rangle d t= \)
\( \int \limits_{0}^{1}\left(-4 t+0+4 t^{2}-2 t+2 t^{3}\right) d t= \)
\( =\int \limits_{0}^{1}\left(2 t^{3}+4 t^{2}-6 t\right) d t=2 \frac{t^{4}}{4}+4 \frac{t^{3}}{3}-6 \frac{t^{2}}{2} \mid \)
\( =2 \frac{t^{4}}{4}+4 \frac{t^{3}}{3}-\left.6 \frac{t^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}= \)
\( =\frac{t^{4}}{2}+4 \frac{t^{3}}{3}-\left.3 t^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-3 \)
\( =\frac{3}{6}+\frac{8}{6}-\frac{18}{6}=-\frac{7}{6} \)
f)
\( =\frac{9 t^{3}}{2}-\frac{12 t^{3}}{2}+\frac{12 t^{3}}{2}+\left.\frac{16 t^{3}}{2}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}= \)
\( =\left.\frac{25 t^{3}}{2}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}=\frac{25 \cdot(\sqrt{2})^{3}}{2}-\frac{25}{2}= \)
