Punkte in der Ebene: Symmetriegruppen bestimmen

Question

Aufgabe: Gegeben seien drei Punkte in der Ebene. Gib die möglichen Symmetriegruppen an; diese hängen von der Lage der Punkte ab.

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand helfen. Mir ist nicht so klar was bei der Aufgabe verlangt wird.

Danke sehr.

Answer 1

Gegeben seien drei Punkte ...

Es sollte klar sein, was damit gemeint ist.

... in der Ebene.

Das heißt der Raum ist zweidimensional.

Gib die möglichen Symmetriegruppen an;

Eine Symmetrieabbildung eines geometrischen Objektes ist eine Kongruenzabbildung, die das Objekt auf sich selbst abbildet.

Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung, die Form und Größe von geometrischen Objekten nicht verändert (sondern nur deren Position und Ausrichtung verändert). Kongurenzabbildungen sind Drehungen, Achsenspiegelungen, Punktspiegelungen und Verschiebungen und deren Hintereinanderausführungen.

Die Menge der Symmetrieabbildungen eines geometrischen Objektes ist eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführungen von Symmetrieabbildungen. Diese Gruppe heißt Symmetriegruppe.

diese hängen von der Lage der Punkte ab.

Mir fallen folgende Fälle ein.

1. Die Punkte liegen auf einer Geraden und einer der Punkte liegt in der Mitte zwischen den anderen zwei Punkten.
   
2. Die Punkte liegen auf einer Geraden und keiner der Punkte liegt in der Mitte zwischen den anderen zwei Punkten.
   
3. Die Punkte sind Ecken eines gleichseitigen Dreiecks.
   
4. Die Punkte sind Ecken eines gleichschenkligen, aber nicht gleichseitigen Dreiecks.
   
5. Die Punkte sind Ecken eines Dreiecks, dass nicht gleichschenklig ist.

Für jeden dieser Fälle musst du die Menge aller Symmetrieabbildungen angeben.