Aussagen zu Symmetriegruppen

Question

1. Jede symmetrische Gruppe besitzt mindestens zwei Untergruppen.

2. Zu jeder natürlichen Zahl n ist die symmetrische Gruppe Sym({1;2;...;n}) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}).

3.Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks besitzt mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Viereck

4.Zu jeder natürlichen Zahl n besitzt die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+4)-Ecks mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+3)-Ecks.

5. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers besitzt höchstens 60 Elemente.


Was ist richtig was ist falsch.

Mein Ansatz:

1. Falsch. Die symmetrische Gruppe S_n hat genau n! (n Fakultät) Elemente, und nicht jede dieser Gruppen hat zwangsläufig mindestens zwei Untergruppen.

2. Richtig. Die symmetrische Gruppe Sym({1;2;...;n}) ist eine Untergruppe von Sym({1;2;...;n;n+1}), da sie die Identität und die Umordnungen der Elemente {1;2;...;n} enthält.

3. Richtig. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks (Dihedralgruppe D_5) hat mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Vierecks (Dihedralgruppe D_4).

4. Falsch. Im Allgemeinen ist dies nicht wahr. Es hängt von der spezifischen Struktur der regelmäßigen (n+4)-Ecke und (n+3)-Ecke ab.

5. Richtig. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers, wie eines Tetraeders, Hexaeders (Würfels), Oktaeders, Dodekaeders oder Ikosaeders, hat höchstens 60 Elemente. Dies ist aufgrund der Begrenzungen der Symmetrieoperationen für diese Körper der Fall.

Aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass das nicht passt. Kann mir jemand helfen

Comments

Oder ist 1 doch richtig

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Aber dann wäre 2 falsch

Meine Begründung:

1. Jede symmetrische Gruppe besitzt mindestens zwei Untergruppen. - Richtig
Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe aller Permutationen einer gegebenen Menge von Elementen. Da jede Gruppe eine triviale Untergruppe (die Identität) und sich selbst als Untergruppe enthält, besitzt auch jede symmetrische Gruppe mindestens diese beiden Untergruppen.

2. Zu jeder natürlichen Zahl n ist die symmetrische Gruppe Sym({1;2;...;n}) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}). - Falsch
Die symmetrische Gruppe Sym({1;2;...;n}) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym({1;2;...;n;n+1}) nur dann, wenn n+1 nicht Teil der Permutationen in Sym({1;2;...;n}) ist. Andernfalls wäre Sym({1;2;...;n}) keine Untergruppe der größeren Gruppe.

3. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks besitzt mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Vierecks. - Richtig
Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks, auch bekannt als Dihedrale Gruppe D5, hat insgesamt 10 Untergruppen, während die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Vierecks, auch bekannt als Dihedrale Gruppe D4, nur 8 Untergruppen besitzt. Die zusätzlichen Untergruppen in D5 entstehen aufgrund der zusätzlichen Rotationen und Symmetrien, die in einem Fünfeck möglich sind.

4. Zu jeder natürlichen Zahl n besitzt die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+4)-Ecks mehr Untergruppen als die Symmetriegruppe eines regelmäßigen (n+3)-Ecks. - Falsch
Die Anzahl der Untergruppen hängt nicht nur von der Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Polygons ab, sondern auch von der Anzahl der Drehungen und Spiegelungen, die in der Symmetriegruppe erlaubt sind. Es gibt keinen direkten Zusammenhang zwischen der Anzahl der Ecken und der Anzahl der Untergruppen.

5. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers besitzt höchstens 60 Elemente. - Richtig
Ein platonischer Körper ist ein regelmäßiges Polyeder, das aus gleichseitigen und gleichwinkligen Flächen besteht. Die Symmetriegruppe eines platonischen Körpers wird durch die symmetrischen Operationen bestimmt, die das Polyeder unverändert lassen. Es wurde gezeigt, dass die maximale Anzahl von Elementen in der Symmetriegruppe eines platonischen Körpers 60 beträgt. Dies tritt zum Beispiel bei einem Ikosaeder auf, während bei einem Tetraeder nur 12 Elemente in der Symmetriegruppe vorhanden sind.

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Hast du deine Begründungen selbst formuliert oder formulieren lassen?

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Klingt sehr nach KI...