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Aufgabe:

Sei n∈ℕ mit n≥2. Sei ∑n die symmetrische Gruppe zum Index n und sei An die alternierende Gruppe zum Index n.

Beweisen Sie dass für alle σ∈∑n die Gleichung σAn=Anσ gilt und die Gruppe ∑n/An zyklisch der Ordnung 2 ist.

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\( A_n \) ist (oftmals) definiert als der Kern von

$$ \operatorname{sgn}:\Sigma_n \to \{\pm 1\}$$

Kerne sind Normalteiler. Weiter gilt der Homomorphiesatz.

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Warum solches Geschütz? An besteht aus allen geraden Permutationen und σπσ-1 ist stets eine gerade Permutation. Eine Untergruppe vom Index 2 ist normal, also hat die Faktorguppe die Ordnung 2.

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