symmetrische, abelsche Gruppe zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei M eine nichtleere Menge und es sei
S(M) := {f : M → M| f bijektive Abbildung}

mit Verknüpfung ◦ (Komposition).

(i) Zeigen Sie, dass (S(M),◦,idM) eine Gruppe ist.

(ii) (1 Punkte) Ist speziell M = {1,...,n} für ein n ∈ N, so heißt Sn := S({1,...,n})
symmetrische Gruppe vom Grad n. Zeigen Sie, dass S2 abelsch ist.
(iii) (1 Punkte) Zeigen Sie, dass S3 nicht abelsch ist und folgern Sie daraus, dass jede Gruppe
Sn mit n ≥ 3 nicht abelsch ist

Hallo,

ich komme leider mit der Aufgabe nicht klar, wenn mir jemand dabei helfen könnte, würde ich mich sehr freuen.

Danke im Voraus

Answer 1

Zeigen Sie, dass (S(M),◦,idM) eine Gruppe ist.

Gruppenaxiome prüfen:

abgeschlossen:  Komposition bijektiver Abb'en istbjektiv.

assoziativ ist Komposition immer

neutrales Element id_M weil für jede bijektive Abb. f von M nach M gilt

id_M o f = f   und f o id_M = f .

inverse zu f ist f^(-1). Das gibt es zu jeder bijektiven Abb.

und selbst wieder bijektiv.