∀a∈G: a°a = e hinreichend für (G,°) abelsche Gruppe?

Question

Aufgabe:

Ist die folgende Eigenschaft hinreichend dafür, dass (G,°) abelsche Gruppe ist?

∀a∈G: a°a = e

Problem/Ansatz:

ich denke, dass ∀a∈G: a°a = e nicht hinreichend für eine abelsche Gruppe ist, weil

a+(-a)=e

Demnach fehlt in der Aufgabenstellung das inverse Element.

Ist das richtig?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

∀a∈G: a°a = e
Das heißt doch:  a ist zu sich selbst invers.

Also hast du eine Gruppe, in der alle Elemente selbstinvers sind.

Sind also a und b aus G , dann ja wegen der Abgeschlossenheit auch aob und

auch das ist selbstinvers, also gilt

aob   =   (aob)^(-1) =  b^(-1) o a^(-1) = boa       .   q.e.d.

Comments

Das verstehe ich nur nicht.

Wenn von dem inversen von a gesprochen werden würde würde doch da stehen:

a o a^(-1) = e

Oder?

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Das inverse von a ist doch ein Element, das verknüpft mit a

das neutrale Element ergibt. In diesem Fall also das a selbst,

d.h.   a^(-1) = a.

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Also stimmt die Aussage?

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Ja, ich habe sie doch bewiesen.