Zeigen Sie, dass daraus folgt: G ist eine abelsche Gruppe.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und es gelte

(ab)² = a²b², ∀a,b ∈ G

Zeigen Sie, dass daraus folgt: G ist eine abelsche Gruppe. Nutzen Sie die Ihnen bekannten Rechenregeln für Gruppen und geben Sie diese an.

Problem/Ansatz:

Was muss ich hier genau tun?

Answer 1

Es ist ja nach Def. (ab)^2 = (ab)(ab)

und nach Vor (ab)² = a²b²  also gilt

                (ab)(ab) =  a²b²  assoziativ !

==>   abab = aabb  | * b^-1 von rechts

==>  aba = aab    | * a^-1 von links

==>         ba = ab  also kommutativ.