Abelsche Gruppen mit Kompositionsverknüpfung

Question

Aufgabe: Sei G die Menge aller Abbildungen f : R → R von der Form f(x) = ax+b mit a,b ∈ R sowie ◦ die Komposition von Abbildungen. Begründen Sie, warum (G, ◦) keine Gruppe ist. Geben Sie eine größte Teilmenge G′ von G an, so dass (G′, ◦) eine Gruppe ist. Weisen Sie dies nach.

Problem/Ansatz:

Guten Tag, ich sitze seit Tagen an dieser Mathe Aufgabe, aber ich komme nicht weiter und mein Ansatz ist komplett falsch. Wir hatten so eine Aufgabe noch nicht in der Vorlesung, weshalb ich auch einen falschen Ansatz habe. Mein Gedanke war es, wie man es auch bei Aufgaben mit einer Verknüpfung, wie z.b (R, +) macht, a • b = a * (ax+b) + b, zu nehmen. Ist aber komplett falsch denke ich. Kann mir eventuell jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus. Liebe Grüße.

Comments

Es geht nicht um die eine einzige Abbildung f(x) = ax+b mit zwei festen Zahlen a und b, sondern um alle Abbildungen der Form f(x) = ax+b, also anschaulich um alle Funktionen, deren Graphen Geraden sind, die nicht parallel zur y-Achse verlaufen (diese Einschränkung ist der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe).

Um Verwirrungen zu vermeiden, solltest du die Abbildungen nicht mit den gleichen Buchstaben bezeichnen wie die Parameter der Funktionen (du benutzt immer a und b), sondern etwa f(x) = ax+b und g(x) = cx+d, dann ist in der Tat (f•g)(x) = a*(cx+d)+b.

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Dankeschön, das hat mir schonmal geholfen.

Answer 1

Hallo Gast, um zu prüfen, ob (G, ◦) eine Gruppe ist, musst du die Eigenschaften einer Gruppe kennen. Welche Eigenschaften hat eine Gruppe?

Comments

Hallo Gast, hmmm, 2 Tage ohne Antwort. Es ist unklar, ob du nach dem obigen Kommentar von hj die Aufgabe schon gelöst hast oder nicht. Aber, wenn du dich nicht meldest, dann lassen wir es gut sein.