Erklärung zum Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen

Question

Wir haben in der VO vor kurzen den Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen gemacht. Diesen haben wir so formuliert:

Jede endlich erzeugte, abelsche Gruppe A ist isomorph zu

ℤ^r  x ℤ/m₁ℤ x ℤ/m₂ℤ x .... x ℤ/m_sℤ

mit eindeutig bestimmten r ≥ 0, r ∈ ℤ, eindeutig bestimmten s ≥ 0, falls s ≥ 1 und eindeutig bestimmten positiven ganzen Zahlen m₁,....m_s, sodass m_s > 1 und m₁ | m₂ | .....| m_s.

Nun verstehe ich aber nicht wirklich wie ich mir dieses Z^R vorstellen kann. Die invarianten Faktoren sind ja Restklassen aber was ist dieses Z^R und wie kann ich mir dieses kartesische Produkt vorstellen , vor allem da ja das r auch kleiner 0 sein kann.

Ich würde mich über eine Erklärung freuen ^^

Answer 1

Nun verstehe ich aber nicht wirklich wie ich mir dieses Z^R vorstellen kann.

Das ist \(\underbrace{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\dots\times\mathbb{Z}}_{R \text{ Faktoren}}\).

vor allem da ja das r auch kleiner 0 sein kann.

Das kann es nicht, weil in der Definition "mit ... r ≥ 0" steht.

Comments

oh ok danke :) Ich konnte mir das nicht so ganz vorstellen wie das mit den karthesischen Produkten aussieht und dachte deswegen es muss etwas anderes sein aber jetzt habe ich eine bessere Vorstellung. Bedeutet das nun, dass nun endliche Gruppen nun als produkt von Restklassen dargestelt werden können und sobald die gruppe unendlich wird brauchen wir diesen Faktor Zⁿ oder ist das ein voreiliger schluss?

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Bedeutet das nun, dass nun endliche Gruppen nun als produkt von Restklassen dargestelt werden können und sobald die gruppe unendlich wird brauchen wir diesen Faktor Zⁿ

Das ist richtig.

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ok perfekt danke <3