Kurvenintegral: "dann längs der Strecke von (π/2|0) nach (0|-π/2)" ∫xy-y2 dy Parametrisierung

Question

Ich habe die Parametrisierung von Kurvenintegralen noch nicht verstanden.

Vielleicht kann mir einer von euch behilflich sein.

Beispiel: Integral über K

∫ xy-y² dy

für K: "erst längs y=cos(x) von (0|1) nach (PI/2|0), dann längs der Strecke von (PI/2|0) nach (0|-PI/2)"

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Kurvenintegral mit Parametrisierung

Um das gegebene Kurvenintegral $\int_K xy - y^2 \, dy$ zu lösen, bei dem $K$ zunächst entlang $y = \cos(x)$ von $(0,1)$ nach $(\frac{\pi}{2},0)$ und dann entlang der Strecke von $(\frac{\pi}{2},0)$ nach $(0, -\frac{\pi}{2})$ verläuft, müssen wir die Kurve in zwei Teile aufteilen und für jeden Teil separat parametrisieren.

Teil 1: Längs $y = \cos(x)$ von $(0,1)$ nach $(\frac{\pi}{2},0)$

Für den ersten Teil entlang $y = \cos(x)$, können wir $x$ direkt als den Parameter $t$ wählen, wobei $t$ im Intervall $[0, \frac{\pi}{2}]$ variiert. Somit erhalten wir:

- $x(t) = t$
- $y(t) = \cos(t)$

Da das Integral in Bezug auf $dy$ ist, brauchen wir auch $dy$. Um $dy$ zu finden, differenzieren wir $y(t)$ nach $t$:

- $\frac{dy}{dt} = -\sin(t)$

Daher ist das Differential $dy = -\sin(t) dt$.

Wir setzen $x(t) = t$, $y(t)$, und $dy$ in das Integral ein:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (t\cos(t) - \cos^2(t))(-\sin(t)) \, dt$

Das Integral muss für diese Grenzen gelöst werden, aber ohne spezifische Anweisung werden wir es nicht weiter vereinfachen.

Teil 2: Längs der Strecke von $(\frac{\pi}{2},0)$ nach $(0, -\frac{\pi}{2})$

Für den zweiten Teil entlang der geraden Linie können wir eine lineare Parametrisierung verwenden, die die Punkte verbindet. Die Linie kann geschrieben werden als $y = mx + c$, wobei $m$ die Steigung ist (die wir berechnen können) und $c$ der y-Achsenabschnitt (den wir ebenfalls berechnen können).

Da wir den Path von $(\frac{\pi}{2},0)$ nach $(0, -\frac{\pi}{2})$ haben, erkennen wir, dass die Steigung $m$ ist:

- $m = \frac{0 - (-\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2} - 0} = \frac{\pi}{\pi} = 1$

Da der Pfad eine direkte Linie ist, kann eine einfache Interpolation zwischen den x-Werten und y-Werten verwendet werden. Eine mögliche Parametrisierung ist deshalb:

- $x(t) = \frac{\pi}{2} - t$, wobei $t$ variiert von $0$ bis $\pi$.
- $y(t) = t - \frac{\pi}{2}$, da wenn $x(t) = \frac{\pi}{2}$, $y(t) = 0$ und wenn $x(t) = 0$, $y(t) = -\frac{\pi}{2}$.

Differenzieren wir $y(t)$, um $dy$ zu erhalten:

- $dy = dt$

Dann setzen wir $x(t)$ und $y(t)$ in das Integral ein:

$\int_{0}^{\pi} \left((\frac{\pi}{2} - t)(t - \frac{\pi}{2}) - (t - \frac{\pi}{2})^2\right) \, dt$

Beide Integrale stellen unterschiedliche Teile der Kurve dar und müssen separat gelöst werden, wobei die Ergebnisse addiert werden, um das gesamte Kurvenintegral zu erhalten.