Gegeben sind zwei Teilmengen A und B einer Grundmenge G. Wie vereinfache ich folgenden Ausdruck?

Question

Gegeben ist folgender Ausdruck: $$ \overline{ \overline{A} \cap \overline{(\overline{A} \cap B)}} $$. Ich tue mich mit den Komplementen schwer. Mein bisheriger Ansatz war wie folgt:

$$ \overline{\overline{A}} \cup (\overline{\overline{\overline{A}}} \cup \overline{B}) $$

unter Anwendung des Assoziativgesetzes gilt dann:

$$ (\overline{\overline{A}} \cup \overline{\overline{\overline{A}}}) \cup \overline{B} $$

was wiederum nichts anderes sein dürfte als

$$ (A \cup \overline{A}) \cup \overline{B} $$

Das wiederum entspricht

$$ G \cup \overline{B} $$

was letztendlich nichts anderes als

G

sein dürfte, da B ja in G enthalten ist. Ist dieser Gedankengang korrekt? Ich habe das Gefühl etwas falsch zu machen.

Answer 1

Die Nichtstriche sind wie Klammern zu behandeln. Das heisst immer von außen nach innen bzw. von oben nach unten. Zwei gleiche Striche heben sich auf und fallen dann weg. Wenn du einen Strich trennst kehrt sich die Beziehung um.

$$ \overline { \overline { A } \cap \overline { (\overline { A } \cap B) }  } =\overline { \overline { A }  } \cup \overline { \overline { (\overline { A } \cap B) }  } =A\cup (\overline { A } \cap B)=A\cup B $$

Comments

Der zweite Satz ist Unsinn. Muss genau anders herum lauten. Wie bei Klammern von innen nach außen, hier dann von unten nach oben.