Pq-Formel: D<0 --> Zwei Lösungen - Wie beweisen? (Komplexe Zahlen)

Question

ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter; mein Ansatz scheint mir nicht ausreichend zu sein:

Gegeben: x²+px+q mit p,q ∈ ℝ

Es gilt die folgende Bedingung: 

p²/4 - q < 0, d. h. die Wurzel soll negativ sein; der Ausdruck wird mit Δ bezeichnet.

Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass z₀=-p/2+i√-Δ und z₁=-p/2-i√-Δ die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung sind.

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Ansatz:

1. Da Δ<0 sind natürlich ausschließlich komplexe Lösungen vorhanden; Anzahl: 2 (komplex konjugiert).

2. Damit Δ<0 muss natürlich folgendes gelten: Δ muss negativ werden, also Δ *(-1) = -Δ

3. Da Δ nun negativ ist, würde beim einsetzen in die pq-Formel folgendes stehen: -p/2±√-Δ

4. Daraus resultiert:  -p/2±√-Δ*i² = -p/2±i√Δ = Lösung

Es gibt also zwei Lösungen, die zueinander komplex konjugiert sind: z₀ = z₀* bzw. z₁=z₂*

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Allerdings ist dies sicherlich nicht alles. Wie kann ich also aufzeigen, dass es an dieser Stelle genau diese zwei Lösungen gibt?

Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen.

Danke für Eure Bemühungen!

Answer 1

ein Polynom 2.ten Grades kann auf den komplexen Zahlen maximal 2 Nullstellen haben, das heisst wenn

du 2 gefunden hast .... dann hast du auch schon alle :)

Comments

Danke für die Antwort.

Der Grund für meine Frage ist die Tatsache, dass es auf diese Aufgabe 10 Punkte gibt; d. h. das Aufwands-Leistungs-Verhältnis scheint hier nicht zu stimmen. Also muss ich wohl eine - größere - Rechnung übersehen haben?

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da ich den Zusammenhang nicht kenne kann ich dir schlecht was über den Aufwand sagen (Mathe-Studium? sonstiges?

Zu deinen Ausführungen: 

Versteh die Logik hinter 2 nicht so ganz , außerdem sind deine Ausführungen ab diesem Schritt auch nicht mehr richtig (wie kommst du in 4) einfach dazu mit i² in der Wurzel zu multiplizieren...dann müsste das - ja weg). Wenn du die pq-formel verwenden darfst, warum folgerst du die Lösungen nicht direkt daraus? 

Habt ihr schon die algebraische abgeschlossenheit gemacht von ℂ besprochen bzw. "wißt" ihr bereits das ein Polynom von grad n nur maximal n nullstellen hat? Ist euch Linearfaktorzerlegung bekannt? Das sind alles Sachen aus denen du ganz schnell den Schluss ziehen kannst das es nur maximal 2 Lösungen gibt. 

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Ja, das wissen wir ("besprochen" ist relativ - nach nur einer Vorlesung) und bei diesem Schritt ist mir tatsächlich ein Fehler unterlaufen.

Der Ausdruck unter der Wurzel wird dann natürlich positiv, was jedoch nicht mehr der Lösung entspricht.

Aber wie beweise ich das Ganze denn nun? Nur zu sagen, dass der Polynom aufgrund des 2. Grades 2 Lösungen hat ist natürlich nicht ausreichend. Auf der anderen Seite erschließt sich mir das mit dem negativen Ausdruck unter der Wurzel nicht ganz, denn - wie du richtig erkannt hast - ist das Ganze dann ja positiv.

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1. Ausreichend ist es nicht ABER: du weißt das Polynom hat MAX 2 Lösungen.

-> Wenn du die Lösungen schon vorgegeben hast, dann ist es sehr einfach zu schauen ob diese Lösungen richtig sind -> Einfaches einsetzen und ausrechnen hätte auch schon gereicht, alternativ brauchst du nur eine der möglichen Nullstellen einzusetzen, da für jede komplexe Nullstelle auch ihre konjugierte Nullstelle ist.

-> Wenn du zeigen sollst, wie man diese Lösungen herleitet und NICHT direkt die pq-Formel anwenden darfst, dann kannst du die Lösungen (und somit auch die pq-Formel) einfach durch quadratische Ergänzung erhalten.

Am Ende hast du gezeigt: Es existieren mindesten 2 Lösungen. Mit dem Wissen, dass es maximal 2 Lösungen gibt ist die einzige richtige Schlussfolgerung, dass es genau (diese) 2 Lösungen sind....