PQ Formel Gleichung : Komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

iz^2+(2-3i)z-5(1-i)=0

Problem/Ansatz:

wie rechnet man das so, dass die antwort ist

z1=2-i

z2=1+3i

Ich habe schon mit Pq Formel probiert

Bitte um Hilfe !

Comments

Der Leitkoeffizient besitzt nicht den Wert 1.

Answer 1

Man muss beachten das gilt \( \frac{1}{i} = -i \), dann ergibt die pq-Formel die Lösung

$$  z_{1,2} = \frac{  2i + 3 \pm \sqrt{ -8i -15 } } { 2 } $$

Jetzt ist aber \( -8i -15 = (1 - 4i)^2 \) und damit folgt die Lösung.

Comments

Auf die Lösung kommt man, wenn man den Ansatz $$ -8i -15 = (a+ib)^2 $$ macht. Anschließend das Quadrat ausrechnen und reelle und komplexe Koeffizienten vergleichen, unter der Annahme das \( a,b \in \mathbb{R} \) gilt.

Answer 2

iz^2 + (2-3i)z - 5(1-i) = 0  || * i
-z^2 + (2i+3)z - 5(i+1) = 0 || * -1
z^2 - (2i+3)z + 5(i+1) = 0

p = -(2i+3)
q = 5(i+1)

Wegen sqrt(-x) = i * sqrt(x)
$$ x1 = \frac{-p}{2} + i * sqrt ( q - p^2/4) $$
$$ x2 = \frac{-p}{2} - i * sqrt ( q - p^2/4) $$