Gegeben ist eine ungerade Funktion mit Periode 2. Was lässt sich über den Funktionswert an der Stelle x=-1 aussagen?

Question

Aufgabe - Eigenschaften periodischer Funktionen:

a) Gegeben ist eine ungerade Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( y=f(x) \) mit Periode 2. Was lässt sich über den Funktionswert an der Stelle \( x=-1 \) aussagen?

b) Konstruieren Sie eine nach oben, aber nicht nach unten beschränkte Funktion \( g \) aus \( \mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \) mit Periode 1. Kann eine derartige Funktion gerade sein? Kann sie ungerade sein?

Answer 1

Bei a) darfst du nur mit den Definitionen arbeiten und keine Beispiele einsetzen.

f: reelle ungerade Funktion mit Periode 2. f(-1) = ?

Ungerade Funktion heisst: f(x) = -f(-x). Insbesondere

f(1) = -f(-1).

Periode 2 bedeutet f(-1) = f(1) = f(3) ....

Zusammen

f(1) = -f(-1)

f(1) = f(-1)

-------------- -  (beide addieren)

0 = -2f(-1)

==> f(-1) = 0

und 12. b)

Hier kannst du nun versuchen etwas mit Sinus oder Kosinus zu erfinden, das passt. Das ist gemeint damit, dass du eine Funktion konstruieren sollst.

Comments

Ich habe a leider nicht so gut verstanden

Wieso kommt da f(3)raus?

Und auch den part mit addotion nicht so recht verstanden

Danke ;)

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Periode ist 2. D.h. f(x) = f(x+2n) und für n darfst du beliebige ganze Zahlen einsetzen. Mach das mal.

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f(-1+2 n) n=2?

F(3)

Aber wieso?

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Wieso nicht? Das ist halt das Wesen von periodisch!

f(-1) = f(1) = f(3) = f(5) = f(7) = f(9) = ....

Nun kannst du aber mit der Eigenschaft ungerade nur etwas über f(1) aussagen, wenn du f(-1) kennst. Daher braucht man nachher nur diese Beziehung.

Beachte, dass du immer kleine f schreibst, wenn die Funktion f heisst.