Komplexe Zahlen: Winkel berechnen, arithmetische Form gegeben.

Question

Ich habe eine komplexe Zahl in der arithmetischen Form gegeben und möchte den winkel φ berechnen bzw. verstehen, wie es funktioniert. Als Rechenweg haben wir aufgeschrieben:

tanφ=a/b  --> φ = arctan b/a                                                        a= -3 b=4

φ= arctan (-4/3) + π = 2,2143

Wo kommt denn auf einmal das π her? Kann mir bitte jemand erklären wie es funktioniert?

Liebe Grüße

Comments

tanφ=a/b  --> φ = arctan b/a  

ist ja schonmal recht merkwürdig!

Answer 1

cartesisch:$$z= a+ib $$

euklidisch: $$ z=|z| \cdot e^{i\phi}$$
Winkel in Radiant - also TR entsprechend umstellen!
$$\tan(\phi) =\frac ba $$
$$\phi =\arctan\left(\frac ba \right)$$
Aufpassen in welchem Quadranten das Länderspiel stattfindet:$$ $$
I:$$ a\ge0 ; b\ge 0 ; 0\le\phi\le \frac\pi2$$
II:$$ a\lt0 ; b\ge 0 ; \frac\pi2\le\phi\le \pi $$
III:$$ a\lt0 ; b\lt 0 ; \pi\le\phi\le \frac{3\pi}2$$
IV:$$ a\ge0 ; b\lt 0  ; \frac{3\pi}2\le\phi\le 2\pi $$
Der TR gibt nur eine Lösung für die Arcusfunktionen aus - es existieren aber mehrere! Daher kann es beim arctan sinnvoll sein, ein Pi dazuzuzählen oder abzuziehen, um in dem richtigen Quadranten zu landen.
Weiterhin gilt:

$$|z|= \sqrt{a^2+b^2} $$
$$a=|z| \cdot \cos \phi $$
$$b=|z| \cdot \sin \phi $$