Zur Y-Achse symmetrische Funktion 4. Grades - Lösung nachweisen und Rechtskrümmungen ermitteln

Question

Gegeben ist die zur y-Achse symmetrische ganzrationale Funktion f 4. Grades, die an der Stelle x=1 einen HOP besitzt und an der Berührstelle x=2 die Tangente t2(x)= -24x +44.

1) Weisen sie ohne Taschenrechner nach, dass f(x)= -x^4+2x^2+4 die einzige Lösungsfunktion ist.

2) Ermitteln sie die Bereiche in denen f rechts gekrümmt ist.

Comments

Welchen Teil verstehst du denn nicht?

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Ich habe ein ganzes Blatt voll mit Übungsaufgaben und diese hier verstehe ich nicht.

Mit den Informationen in der Aufgabenstellung komme ich nur auf 3 Bedingungen, ich brauche allerdings 4.

Die Funktion ist rechts gekrümmt wenn sie steigt, ich weiß aber nicht wie ich herausfinde wo das der Fall ist.

Achso, ax^4+bx^2+c, das ist der Schlüssel, man braucht nur diese 3 Bedingungen. Danke für die Antwort.

Okay den Teil mit dem Aufstellen der Bedingungen ist mir jetzt klar, das was jeweils unter den Bedingungen steht verwirrt mich allerdings. 

f'(1)= 0

0 = 4a+2b

Ist das einfach die Ableitung von ax^4+bx^2+c bloß ohne x oder wie ist das zu Stande gekommen ? Die gleiche Frage gilt für die zweite und dritte Bedingung.

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"Die Funktion ist rechts gekrümmt wenn sie steigt, ich weiß aber nicht wie ich herausfinde wo das der Fall ist."

Nicht ganz: Gemeint ist, dass du ein Spielzeugauto von links nach rechts dem Graphen entlang fahren lässt und feststellst, in welchem Bereich es in einer Rechtskurve ist.

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Okay, Wendestellen berechnen ist verstanden, zweite Ableitung gleich Null setzen und x alleine stellen.

Wechsel der Vorzeichen, ist damit der Wechsel von -12x^2 zu (+)x^2 gemeint ?

+ - Wurzel (1/3)= x

Daraus entstehen die Punkte 1/Wurzel(3) und -1/Wurzel(3) ? Sehe ich das richtig ?

x Element R sagt mir nichts, ist das mit dem Stoff der bis zur Klasse 11 1.Halbjahr durchgenommen wurde überhaupt machbar ?

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f ''(x) = -12x² + 4       

Hast du meine Antwort unten eigentlich gelesen?

g(x)  = -12x² + 4  ist eine nach unten geöffnete Parabel (ca. 9. Schuljahr) 

Brauchst du einen Link zu Graphen von Parabeln?

Sie verläuft zwischen den Nullstellen im positiven Bereich und ausserhalb im negativen Bereich.

An den Nullstellen ändert g das Vorzeichen. 

Hier noch ein Link zu Parabeln: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

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"x Element R sagt mir nichts, ist das mit dem Stoff der bis zur Klasse 11 1.Halbjahr durchgenommen wurde überhaupt machbar ?"

In der 11. Klasse kommen ja vielleicht noch keine andern als reelle Zahlen vor. Schreib dann vielleicht

B = {x| x<-1/√3 oder x > 1/√3}  

R ist die Menge der reellen Zahlen. Mehr zu den Zahlenmengen, die du eigentlich kennen solltest: https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen

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die an der Stelle x=1 einen HOP besitzt 

f '(1) = 0      |  Wegen f ' (x) = 4ax³ + 2bx

0 = 4a*1^3 + 2b*1    | vereinfachen

0 = 4a + 2b    (I)

Ich habe jetzt in der Antwort ein Mal die rote Zwischenrechnung ergänzt.

Man muss für x das einsetzen, was in der Klammer steht. Also hier eine 1.

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Ja die habe ich gelesen und ich verstehe auch wo g(x) positiv und negativ ist und, dass an den Nullstellen das Vorzeichen wechselt. Das beantwortet aber nicht was ich eben gefragt habe.

Die Aufgabe macht mir schon seit Stunden zu schaffen, tut mir leid wenn ich etwas unwissend rüberkomme..

Moment da kam grade noch ein Teil, die Seite war nicht aktualisiert.

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Ich schreibe mir kurz alles auf was bisher entstanden ist, vielleicht verstehe ich es dann.

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Okay ich bin jetzt bei der 3. Bedingung (III). Mir ist aufgefallen, dass

f(2)= -48+44=4

doch eigentlich -4 als Ergebnis haben muss ?

Desweiteren bin ich nicht sicher wo die -48 herkommt, rein logisch kombiniert ist das -24*2, aber die Gleichung lautet ja ax^4+bx^2+c, wie ist dies also entstanden ?

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Mit -4 hast du natürlich recht. Ist korrigiert.

Habe auch das Folgende an der fraglichen Stelle noch ergänzt:

Tangente und Funktion haben bei x=2 gemeinsamen Punkt.

f(2) = t2(2)= -24*2 +44 = -4

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Okay. :)

Also wird einfach 2 in die lineare Funktion der Tangente mx+n eingesetzt.

So ich habe alle drei Bedingungen aufgeschrieben und mit dem Taschenrechner a= -1 ; b= 2 ; c= 4 rausbekommen. Setzt man dies in ax^4+bx^2+c ein ergibt sich f(x)= -x^4+2x^2+4. Heißt bisher ist alles richtig und ich muss nurnoch das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode auflösen, richtig ? Sollten dabei Probleme auftreten melde ich mich nochmal, ansonsten vielen vielen Dank für die Unterstützung. Ich würde mich gerne mit 5€ bedanken, gibt es eine Art Donate-Konto ? 

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"Also wird einfach 2 in die lineare Funktion der Tangente mx+n eingesetzt.

So ich habe alle drei Bedingungen aufgeschrieben und mit dem Taschenrechner a= -1 ; b= 2 ; c= 4 rausbekommen. Setzt man dies in ax⁴+bx²+c ein ergibt sich f(x)= -x⁴+2x²+4. 

Heißt bisher ist alles richtig"

und du bist fertig!

"und ich muss nurnoch das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode auflösen, richtig ?" 

Gauss kannst du dir sparen.

Du hast jetzt gezeigt, dass die angegebenen Bedingungen zwingend auf die angegebene Funktion führen.

"ansonsten vielen vielen Dank für die Unterstützung. Ich würde mich gerne mit 5€ bedanken, gibt es eine Art Donate-Konto ? "

Bitte. Gern geschehen! Du kannst dich bei den Antworten mit Stern und Daumen bedanken. Vergib die aber erst, wenn du keine weitere Antwort zur gleichen Frage mehr brauchst. 

Answer 1

Gegeben ist die zur y-Achse symmetrische ganzrationale Funktion f 4. Grades, 

Ansatz 

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f ' (x) = 4ax^3 + 2bx

die an der Stelle x=1 einen HOP besitzt 

f '(1) = 0      |  Wegen f ' (x) = 4ax³ + 2bx

0 = 4a*1^3 + 2b*1    | vereinfachen

0 = 4a + 2b    (I)

und an der Berührstelle x=2 die Tangente t2(x)= -24x +44.

f ' (2) = -24

-24 = 32a + 4b (II)

Tangente und Funktion haben bei x=2 gemeinsamen Punkt.

f(2) = t2(2)= -24*2 +44.

f (2) = -48 + 44 = -4

-4 = a*16 + b*4 + c  (III)

Nun erst mal nachrechnen.

Dann berechne a und b aus (I) und (II).

Danach a und b in (III) einsetzen und c noch berechnen.

Nun sollte die Funktion bei 1. rauskommen.

Comments

 f ' (x) = -4x^3 + 4x 

f ''(x) = -12x^2 + 4     Wendestellen berechnen

 -12x^2 + 4 = 0

4 = 12x^2

1/3 = x^2

±√(1/3) = x

In den Wendestellen ändert sich das Vorzeichen der Krümmung. Nun siehst du, dass 

zwischen x=-1/√3 und x=1/√3 die Kurve nach links gekrümmt ist. Ausserhalb dieses Bereichs handelt es sich um eine Rechtskurve. 

Linkskurve heisst übrigens, dass die 2. Ableitung positiv ist. Wenn du keine Skizze erstellen kannst, musst du halt die Ungleichung -12x^2 + 4 > 0 nach x auflösen.

Bereich B für die Rechtskurve ist daher

B = {x Element R| x<-1/√3 oder x > 1/√3}