Bruchungleichung ((x-3)/(1-2x)) < 0. Fallunterscheidung?

Question

Ich habe die folgende Aufgabe gegeben und soweit gelöst:

((x-3)/(1-2x)) < 0

Fall 1: Nenner > 0

1-2x > 0

x-3 < 0

....

Ergebnis:

x > 0,5

x < 3

Fall 2: Nenner < 0

1-2x < 0

x-3 > 0

Ergebnis:

x < 0,5

x > 3

Meine Frage ist nun woher weiß ich was die Lösungsmenge ist ? Ich hätte mir gedacht L = {0,5 < x < 3} Wolfram Alpha sagt allerdings das Gegenteil?! Kann mir das bitte jemand erklären ?

Vielen Dank :)

Lg

Answer 1

Zitat:
...

Fall 2: Nenner < 0

1-2x < 0

x-3 > 0

Ergebnis:

x < 0,5 (Ähnlich auch in Fall 1)

x > 3

Zitat Ende.

Autsch!

Comments

Die Ungleichung wird erfüllt, wenn die linke Seite negativ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben. Daher kann hier so gerechnet werden:

$$ \frac { x-3 }{ 1-2x } < 0 \\ \\\quad\\ \Leftrightarrow \left(x-3<0 \quad\land\quad 1-2x >0\right) \quad\lor\quad\\\quad \left(x-3>0 \quad\land\quad 1-2x <0\right)\\ \\\quad\\ \Leftrightarrow \left(x<3 \quad\land\quad x < 0.5 \right) \quad\lor\quad \left(3 < x \quad\land\quad 0.5 < x \right)\\ \\\quad\\ \Leftrightarrow\quad x < 0.5 \quad\lor\quad 3 < x. $$

Answer 2

((x-3)/(1-2x)) < 0

Fall 1: Nenner > 0

1-2x > 0  -------> 1>2x  --> 1/2 > x

x-3 < 0     → x<3

Beides zusammen x<1/2

Fall 2: Nenner < 0

1-2x < 0 -----> 1 < 2x ---> 1/2 < x

x-3 > 0   -----> x > 3

Beides zusammen: x > 3

Beide Fälle kombiniert

L = {x| x < 1/2 oder x >3}