Zunächst einmal vereinfachen ( Kürzen des linken Bruches mit - 2 ):
- 2 x / ( 2 x - 10 ) ≤ 8 / ( x - 2 )
<=> x / ( 5 - x ) ≤ 8 / ( x - 2 )
Die kritischen Stellen sind die Nullstellen der Nenner. Je nachdem, welchen Wert x annimmt, wechseln die Nenner an diesen Stellen ihr Vorzeichen. Ist in einem der zu untersuchenden Fälle genau ein Nenner negativ, dann muss bei der Multiplikation mit den Nennern das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, sonst, also wenn keiner der Nenner oder beide negativ sind, nicht.
Da es zwei kritische Stellen gibt ( x = 2 und x = 5 ) müssen die drei Bereiche
x < 2 , 2 < x < 5 und 5 < x
untersucht werden, es sind also drei Fallunterscheidungen erforderlich.
Fall 1: x < 2
Dann gilt: 5 - x > 0
Der Nenner 5 - x des ersten Bruches ist in diesem Falle immer positiv, der Nenner x - 2 des zweiten Bruches hingegen immer negativ. Da also genau ein Nenner negativ ist, muss bei der Multiplikation mit den Nennern das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden:
x / ( 5 - x ) ≤ 8 / ( x - 2 )
<=> x ( x - 2 ) ≥ 8 ( 5 - x )
<=> x 2 - 2 x ≥ 40 - 8 x
<=> x 2 + 6 x ≥ 40
<=> x 2 + 6 x + 9 ≥ 49
<=> ( x + 3 ) 2 ≥ 49
<=> | x + 3 | ≥ 7
<=> x + 3 ≥ 7 ODER - ( x + 3 ) ≥ 7
<=> x ≥ 4 ODER x ≤ - 10
Aufgrund der Fallvoraussetzung x < 2 entfällt x ≥ 4 und es verbleibt:
x ≤ -10
Fall 2: 2 < x < 5
Dann gilt für die Nenner: x - 2 > 0 und 5 - x > 0
Da in diesem Falle beide Nenner positiv sind, wird das Ungleichheitszeichen bei der Auflösung der Ungleichung nicht umgekehrt.
Die weitere Berechnung liefert schließlich dieselbe Aussage wie in Fall 1, allerdings mit umgekehrten Ungleichheitszeichen, also:
x ≤ 4 ODER x ≥ - 10
Aufgrund der Fallvoraussetzung 2 < x < 5 ist hier die Lösung:
2 < x ≤ 4
Fall 3: 5 < x
Dann gilt für die Nenner: x - 2 > 0 und 5 - x < 0
Es ist also wieder genau ein Nenner negativ, sodass das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss.
Die weitere Berechnung entspricht daher exakt der Berechnung im Fall 1.
Das Ergebnis ist: x ≥ 4 ODER x <= - 10
Aufgrund der Fallvoraussetzung 5 < x ergibt sich hier die Lösung:
x > 5
Insgesamt ist also die gegebene Ungleichung genau dann wahr, wenn gilt:
x <= 10 ODER 2 < x ≤ 4 ODER x > 5
