Hilfe bei Pythagoras! Größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse

Question

Hallo erstmal;)

Wir schreiben in zwei Tagen eine Mathearbeit (bräuchte also eine sehr schnelle Antwort). Brauche  hilfe bei Pythagoras!

Und zwar hat unsere Mathelehrerin uns Übungsaufgaben gegeben und beim Durcharbeiten dieser Aufgaben bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

In einem rechtwinkligem Dreieck ist die größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse und um 17cm länger als die kleinere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?

als ich meine Lehrerin zu dieser Aufg. gefragt habe, meinte sie ich solle i-was mit der PQ-Formel rechnen. Ich dachte eigentlich die braucht man nur bei quadratischen Gleichungen, könnte mir eventuell i-jemand erklären wie diese Aufgabe funktioniert?

Answer 1

In einem rechtwinkligem Dreieck ist die größere Kathete (a) um 1cm kürzer als die Hypotenuse (h) und um 17cm länger als die kleinere Kathete (b). Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse?

a^2 + b^2 = h^2

a = h - 1
h = a + 1

a = b + 17
b = a - 17

Setzen wir mal die beiden letzten Gleichungen in die erste ein:

a^2 + b^2 = h^2
a^2 + (a - 17)^2 = (a + 1)^2
a^2 + a^2 - 34a + 289 = a^2 + 2a + 1
a^2 - 36a + 288 = 0

Mit der pq-Formel finden wir jetzt die Lösung

a = 24 oder a = 12

Da a mind 17. cm lang sein muss ist a hier 24.

a = 24
h = a + 1 = 25
b = a - 17 = 7

Die Katheten sind also 7 und 24 cm. Die Hypotenuse ist 25 cm.

Answer 2

Du kannst aus den Bedingungen ein Gleichungssystem aufstellen:

a: größere Kathete, b: kleinere Kathete, c: Hypotenuse

In einem rechtwinkligem Dreieck ist die größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse

(I) a=c-1

und um 17cm länger als die kleinere Kathete.

(II) a=b+17

Außerdem wissen wir durch den Satz des Pythagoras:

(III) c^2=a^2+b^2

Formen wir (II) nach b um, so ergibt sich

(II)' b=a-17

Setzen wir nun (I) und (II)' in (III) ein, erhalten wir die Gleichung

c^2=(c-1)^2+(a-17)^2

c^2=c^2-2c+1+((c-1)-17)^2

c^2=c^2-2c+1+(c-18)^2

c^2=c^2-2c+1+c^2-36c+324

c^2=2c^2-38c+325   |-c^2

c^2-38c+325=0

Hier können wir nun die PQ-Formel anwenden:

p=-38, q=325

=> c_1,2=-(-38/2)±√((-38/2)^2-325)

c_1,2=19±√((-19)^2-325)

c_1,2=19±√(361-325)

c_1,2=19±√(36)

c_1,2=19±6

c₁=25; c₂=13

a₁=c₁-1=25-1=24; a₂=c₂-1=13-1=12

b₁=a₁-17=24-17=7; b₂=a₂-17=12-17=-5 kann nicht sein, also ist

a₁=24, b₁=7 und c₁=25 die Lösung.