Exponentialgleichung auflösen - Logarithmus: exp(x) = 3 + 10/exp(x)

Question

ich habe eine Aufgabe von meinem Nachhilfeschüler, die ich zum verrecken nicht hinbekomme.

Zu lösen ist die Gleichung:

exp(x) = 3 + 10/exp(x)

Wäre sehr dankbar wenn mir das einer mit Rechenweg lösen kann. Ich weiss, dass ln 5 rauskommen muss, habe aber nacg bestimmt 20 mal rechnen immer nur was anderes raus.

Danke schonmal,

Thomagedu

Answer 1

\(e^x= 3 + \frac{10}{e^x}  |\cdot e^x\)

\(e^{2x}-3 e^x=10\)

Weg ohne Substitution:

\((e^{x}-\frac{3}{2})^2=10+(\frac{3}{2})^2=12,25|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(e^{x}-\frac{3}{2}=3,5\)

\(e^{x}=5\)

\(x\cdot \ln(e)=\ln(5)\)    mit    \( \ln(e)=1\) 

\(x_1=\ln(5)\) 

2.)

\(e^{x}-\frac{3}{2}=-3,5\)

\(e^{x}=-2\)   keine Lösung ∈ ℝ

Comments

Was spricht gegen diesen Weg?

exp(x) = 3 + 10/exp(x)
(exp(x))^2 - 3exp(x) - 10 = 0
(exp(x) -5)(exp(x) + 2) = 0

Kommentiert 22 Okt 2014 von Lu

Der ist doch viel kürzer und kommt ohne Substitution aus!

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Was spricht gegen diesen Weg?

Das musst du verstehen. Es geht nicht um einen möglichst effektiven Weg oder gar um konkrete Hilfe für Fragesteller. Da will jemand mit Gewalt in die Top Twenty, also müssen Punkte in Form nutzloser Antworten generiert werden.

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@abakus

Aha, jetzt entscheidest du, ob Antworten nutzlos sind. Lehne dich nicht so weit aus dem Fenster.

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Die Sinnhaftigkeit deiner Antworten wurde auch bereits von offizieller Seite, nämlich von Unknown, vor einiger Zeit mal in Frage gestellt. abakus ist also nicht der einzige, der das so sieht.

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Aha, jetzt entscheidest du, ob Antworten nutzlos sind.

Nenne mir doch mal eine deiner letzten 20 Antworten, die dem Originalposter konkret geholfen haben könnten.

Die Sinnhaftigkeit deiner Antworten wurde auch bereits von offizieller Seite, nämlich von Unknown, vor einiger Zeit mal in Frage gestellt.

Nicht nur von dem, auch vom Mathecoach. Oder glaubst du, dass er mit

Gerade in letzter Zeit werden uralte Fragen wieder rausgekramt und nicht mehr möglichst einfach und nachvollziehbar beantwortet,

die Antworten vom Weihnachtsmann gemeint hat?

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Hallo Moliets,
ich weiß gar was die Leute gegen deine Antwortbeantwortungen
haben.
Ich ( 71 Jahre ) bin im Forum um mich geistig fit zu halten
und möchte das auch nicht missen.
Deshalb meine Meinung : bleib mal so wie du dich bisher
verhältst.
mfg Georg

Zur Erheiterung
Fernsehkommentar Natursendung
" Quallen : Seit 500 Millionen Jahren schwimmen sie in den
Ozeanen und haben kein Hirn "

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@georgborn: Danke dir für deine Einschätzungen!

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Das könnt Ihr ja machen, also sucht Euch irgendwo Aufgaben (Bücher, Internet) und rechnet die. Aber wenn Ihr die in einem Forum postet, das einen ganz anderen Zweck hat, dann missbraucht Ihr das Forum und müsst Euch Kritik gefallen lassen. Und was dagegen spricht, ist ja schon erwähnt worden.

Answer 2

Substituiere exp(x) = u und löse dann die sich ergebende quadratische Gleichung.

Genügt dir dieser Hinweis?

Comments

Ah vielen dank! Jetzt war die Aufgabe in 30 seunden gelöst..

Gibt es noch einen anderen Lösungsweg? Die Aufgabe stammt aus der 11. Klasse, da hat man substitution zwar schon gelernt, aber das Thema ist der ln allgemein.

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Substitution ist schon die Methode der Wahl. Vielleicht kannst du faktorisieren statt die pq-Formel zu bemühen.

Es schadet nie, wenn alte Bekannte auch in den Aufgaben mal vorkommen.

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Ohne Substitution. Faktorisierung über den Satz von Vieta.

exp(x) = 3 + 10/exp(x)

(exp(x))^2 = 3·exp(x) + 10

(exp(x))^2 - 3·exp(x) - 10 = 0

(exp(x) - 5)·(exp(x) + 2) = 0

exp(x) = 5 → x = ln(5)

exp(x) = - 2 → Keine weitere Lösung in R.

Ich habe mir erlaubt, es nur übersichtlicher zu setzen und zu kommentieren. (Mathecoach)