Schnittpunkt mit der y-Achse einer Kurvenschar

Question

Ich muss eine Kurvendiskussion mit dieser Kurvenschar machen :

fk(x) = x^3 - kx mit k>0

Die Schnittpunkte mit der x-Achse habe ich berechnet: 0 und +- Wurzel aus k.

Wie berechne ich jetzt die Schnittpunkte mit der y-Achse?

Answer 1

Die Schnittpunkte mit der Y-Achse bekommst du immer, wenn du für x Null in die Funktion einsetzt.

fk(0) = 0³ - k*0 = 0

Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also der Koordinatenursprung.

Ich skizziere mal die Funktion für mehrere k

Comments

Als nächstes wollte ich nun die Extrema berechnen. Habe die erste Ableitung der Kurvenschar gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst. x = +- Wurzel aus k/3

Die zweite Ableitung gibt mir nun an ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, richtig?

Und wie kann ich die genauen Koordinaten eines TP bzw. HP ermitteln? Wo muss ich einsetzen um x und y -Wert zu erhalten?

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Ja. Die Zweite Ableitung gibt die Art des Extremas an. Wenn du bei einer Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizient allerdings 2 Extremas hast, ist das rechte davon immer der Tiefpunkt und das linke der Hochpunkt.

Wenn du noch die y-Koordinate brauchst erhältst du die über das einsetzen in die Funktionsgleichung:

fk(x) = x^3 - k·x
fk'(x) = 3·x^2 - k
fk''(x) = 6·x

Also für ein Extrema

fk'(x) = 3·x^2 - k = 0
x = ± √(k/3)

fk''(√(k/3)) = 6·√(k/3) > 0 --> Tiefpunkt

fk(√(k/3)) = (√(k/3))^3 - k·√(k/3) = - 2/9·√(3·k^3)

Damit liegt z:B. der Tiefpunkt bei TP(√(k/3) | -2/9·√(3·k^3))

Aus der Symmetrie heraus liegt dann der Hochpunkt bei HP(-√(k/3) | 2/9·√(3·k^3))