Beweisen Sie mit Hilfe bekannter Regeln, dass für die Aussagen P,Q,R und S gilt ...

Question

habe bei folgender Aufgabe ein paar Schwierigkeit, voran zu kommen.

"Beweisen Sie mit Hilfe bekannter Regeln, dass für die Aussagen P,Q,R und S gilt:

P∧Q∧R⇒S=P∧Q∧¬S⇒¬R"

Ich schätze man muss hier eines der Gesetze anwenden (Distributiv- oder Assoziativgesetz).

Aber wie gehe ich jetzt hier genau vor, um zu beweisen, dass beide Seiten gleich sind?

Gruß

Answer 1

Einfach die Regeln der Booleschen Algebra anweden.

Bsp.:

A∧B => R

= ¬(A∧B) ∨ R

= ¬A ∨ ¬B ∨ R

Comments

Wird also ⇒ R immer zu ∨ R?

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Wenn ich das auf meine Aufgabe anwende, müsste es also lauten

P ∧ Q ∧ R ⇒S = P ∧ Q ∧ ¬S ⇒ ¬R

¬(P∧Q∧R) ∨ ¬S = ¬(P∧Q∧¬S) ∨ ¬R

oder?

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Aus der Wahrheitstabelle siehst du, dass A ⇒B gleich ist mit -A ∨ B

Das wendest du auf deine Gleichung an.

P∧Q∧R⇒S=P∧Q∧¬S⇒¬R

-(P∧Q∧R) ∨ S = -(P∧Q∧¬S) ∨ -R   (Nicht-Klammern mit De Morgan auflösen)

-P ∨ -Q ∨ -R ∨ S = -P ∨ -Q ∨ -(-S) ∨-R

-P ∨ -Q ∨ -R ∨ S = -P ∨ -Q ∨ -S ∨-R

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Muss es dann nicht

-P v -Q v -R v S = -P v -Q v S v -R

lauten? Weil -(-S) ist doch S, oder nicht?

Noch eine Frage: ist das jetzt wirklich gleich?

Ich gehe mal davon aus, dass die Reihenfolge egal ist, sonst wäre das ja nicht der Fall.

Gruß und danke!

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Kann mir vielleicht noch jemand sagen, wie ich folgende Aufgabe löse? (Wollte keine neue Frage dafür öffnen.)

(P⇒Q)∧R=(P∧-Q⇒-R)∧R

Mein Ansatz:

(-P v Q) ∧ R = (P ∧ Q v -R) ∧ R

P ∧ -Q v R=-P v -Q v R ∧ R

Aber wirklich gleich ist das ja jetzt nicht ...

G

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Ja, hast recht, bei dem -S hatte ich mich verschrieben. Die mathematische Schreibweise finde ich ziemlich unübersichtlich, deswegen benutze ich immer die Notation der Schaltalgebra.

$$PQR\Rightarrow S=PQ\overline { S } \Rightarrow \overline { R } \\ \overline { PQR } +S=\overline { PQ\overline { S }  } +\overline { R } \\ \overline { P } +\overline { Q } +\overline { R } +S=\overline { P } +\overline { Q } +S+\overline { R } $$

Finde ich übersichtlicher. "Oder" ist dabei "+" , "und" ist " * "

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Du hast bei deiner zweiten Aufgabe ein paar Fehler drin.

Die "und" und "oder" Operatoren verhalten sich exakt so wie * und +
Auf der linken Seite hast du die Klammer falsch ausmultipliziert, auf der rechten Seite hast du den Folgepfeil falsch aufgelöst. Die gesamte linke Seite vom Pfeil wird negiert und zwar als Klammer. Klammere zum Auflösen den gesamten linken Teil vom Pfeil ein und setz ein Minus davor.

(P⇒Q)∧R=(P∧-Q⇒-R)∧R

(-P v Q) ∧R=(-(P∧-Q) v -R) ∧R

-P∧Q v Q∧R = (-P v Q v -R) ∧R

-P∧Q v Q∧R = -P∧R v Q∧R v -R∧R      | -R∧R fällt weg

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Okay, die Schreibweise kannte ich noch gar nicht. Find ich aber auch übersichtlicher.

Kannst du mir vielleicht noch auf meine Letzte Frage antworten, direkt über deinem letzten Kommentar?

Gruß

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Und nochmal in übersichtlicher:

$$(P\Rightarrow Q)R=(P\overline { Q } \Rightarrow \overline { R } )R\\ (\overline { P } +Q)R=(\overline { P\overline { Q }  } +\overline { R } )R\\ \overline { P } R+QR=(\overline { P } +Q+\overline { R } )R\\ \overline { P } R+QR=\overline { P } R+QR+\overline { R } R\\ \overline { P } R+QR=\overline { P } R+QR$$

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Danke, danke.

Du hast da noch das de Morgan- und das Distributivgesetz angewandt, oder?

Gruß

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Immer wenn ein "nicht" mehr als eine Variable betrifft muss man mit de Morgan auflösen. Die "nicht"-Zeichen dürfen hinterher nur noch einzeln bei jeder Variable stehen, sprich alle nicht-Klammern müssen aufgelöst sein, weil man ansonten keine Aussage über einzelne Variablen treffen kann.

Und Distributivgesetz... wie gesagt, die boolesche Algebra verhält sich für Klammerrechnung + und * Rechnung wie ganz normale Algebra. Sprich, Klammern werden zuerst gerechnet und es gilt Punkt- vor Strichrechnung.

Zusätzlich kommen noch ein paar logische Überlegungen dazu wie z.B.

-PQ +P = Q + P als sonstige wichtigste Regel

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Außerdem:

1 + irgendwas = 1 (Aussage ist wahr)

-P + P = 1

-PP = 0

Dabei entspricht + einem "oder" und * einem "und"

Ausklammern und Klammern ausmultiplizieren läuft ganz genauso wie in der normalen Algebra.

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Okay, danke für die guten Erklärungen!