Voraussetzung für Iterationsverfahren überprüfen

Question

Ich habe eine sehr allgemeine Frage, in meiner Aufgabe y´=2xy soll ich mittels Iterationsverfahren von Picard Lindelöff die Nährungslösung y3 angeben, aber auch die Voraussetzungen überprüfen. Das iterationsverfahren habe ich verstanden aber mit der Überprüfung der Voraussetzungen tue ich mich schwer.
In den Vorlesungsunterlagen geht hervor, dass die Voraussetzungen erfüllt sind wenn die Dgl stetig ist. Aber wie zeige ich das ?
Und wie ist der Zusammenhang zwischen der Lipschitzbedingung?  Ich habe eine Unterlagen und diverse Matheseiten durchsucht allerdings versteh ich nur Bahnhof.
kann mir jemand vill das erklären oder nur eine simple Beispielaufgabe posten?

besten dank, gruß paul

Comments

sobald Fragen anfangen interessant und schwiriger zu werden, kann natürlich niemand mehr helfen bzw. oder niemand macht sich da noch mühe großartig was zuschreiben...

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interessante Einstellung. Warum so ungeduldig? Man kann ja wohl schwer erwarten, dass jemand in der Nacht von Freitag auf Samstag dir schnell eine Antwort auf deine Frage liefern wird. Du hast ja noch nicht mal speziell gesagt was dir an der Definition bzw. Voraussetzung Schwierigkeiten bereitet. Und zum Thema "Interessant" und "schwierig" kann ich dir nur sagen, dass es sich bei deiner Aufgabe um ein absolutes Standardbeispiele für die Picard-Iteration handelt. Man "sieht" ja schon eine Lösung der DGL (wenn man ein spezielles AWP gegeben hätte könnte mans direkt ablesen) die Anwendung der Picard-Iteration führt dann genau auf die Lösungsfunktion (die sich durch eine bekannte Potenzreihe darstellen lässt). Vor allem konvergiert die Iteration, weil deine DGL die Voraussetzungen erfüllt. Inbesondere ist die Funktion F(x,y) = 2xy global Lipschitz stetig in der 2. Variablen.

Du hättest auch ruhig mehr dazu schreiben können wie ihr die Voraussetzung in eurer Vorlesung formuliert habt. "Das die DGL stetig ist" sagt mir jetzt nicht unheimlich viel, weil ich diese Formulierung noch nicht gehört habe.

Answer 1

Du must nachweisen das die Funktion \( f(x,y)=2xy \) stetig ist und das Sie in \( y \) die Lipschitzbedingung erfüllt. Die Stetigkeit sollte klar sein und jede stetig partiel differenzierbare Funktion ist Lipschitz-stetig. Und die Funktion \( f(x,y) \) ist stetig partiell differenzierbar. Also sind die Voraussetzungen alle erfüllt.