Quadratische Funktion ableiten: G(x) = x·f(x)

Question

Hi,

folgende Funktion soll abgeleitet werden: f(x) = ax^2 +bx +c.

Ist an sich ja kein Problem. Jetzt heißt es ich soll die erste Ableitungen dieser Funktion bilden. G(x) = x·f(x)

Wie gehe ich da vor?

Answer 1

Ja entweder Produktregel auf \( x\cdot f(x) \) anwenden oder vorher f(x) mit x multipliziere,, aslo \( ax^3+bx^2+cx \) und das ableiten.

Comments

Okay, dass ist klar soweit. Danke. 

Jetzt gibt es noch folgende Aufgaben:

Ich soll folgendes ableiten: 

1. h(x) = 1/f(x)

2. k(x) = f(x) / (x)

3. m(x)=[f(x)]^2

Zu 1. 

wenn ich die Funktion in diese Form schreibe erhalte ich ja 1/(ax^2+bx+c) kann ich das nun nicht einfach so ableiten oder muss ich das ganze vorher umschreiben? Umgeschrieben wäre das ganze doch (ax^2+bx+c)^-1 oder nicht? 

Zu 2. 

hier einfach mit der Quotientenregel arbeiten? 

Bei 3. steht ja (ax^2+bx+c)^2 

Soll ich hier mit der kettenregel arbeiten?

Grüße 

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Hi, beim nächsten mal bitte für neue Aufgaben auch eine neue Frage stellen

Zu (1) (Quotientenregel)

$$ h'(x)=-\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} $$ weil die Ableitung des Zählers \( 0 \) ergibt.

Zu (2) ebenfalls Quotientenregel

Zu(3) (Kettenregel)

$$ \left( [f(x)]^2 \right)'=2\cdot f(x)\cdot f'(x) $$

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Kann ich bei 1/f(x) nicht die Funktion zu (ax^2+bx+c)^-1 umschreiben und dann mit der kettenregel ableiten? Ich verstehe nicht wieso die Ableitung 0 ergeben soll. 

Danke

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Das versteh ich nicht. Die Ableitung ergibt sicher nicht 0. Schreib doch mal Deine Ergebnisse.

Answer 2

f ( x ) = ax² + bx + c
f ´( x ) = 2ax + b

1.
h ( x ) = 1 / f ( x )
h ´( x ) = - f ´ / f^2
h ´( x ) = - ( 2ax + b ) / ( ax² + bx + c )^2

2.
k ( x ) = f ( x ) / x
k ( x ) = ( ax² + bx + c ) / x

k ( x ) = ax + b + c / x
k ´( x ) = a - c/x^2

3.
m ( x ) = [ f ( x ) ]²
m ´ ( x ) = 2 * f ( x ) * f ´ ( x )
m ´( x ) = 2 * ( ax² + bx + c ) * ( 2ax + b )

Comments

Bei 2. wende ich doch die Quotientenregel an? Ich komme aber nicht auf dein Ergebnis. 

(ax^2 +bx +c) / x
Ich setze den Zähler = u und den nenner = v. Dann leite ich nach folgendem Schema ab:u' * v - u * v' / v^2=(2ax+b) * x - (ax^2 +bx + c) *1 /x^2
Wobei ich x^2 im nenner steht. Das kann dann noch vereinfacht werden.  Wenn ich jetzt aber mal in deine Lösung für alle Variablen 1 einsetze erhalte ich 0, bei mir erhalte ich 4.

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Dein Ergebnis
[ (2ax+b) * x - (ax² +bx + c) *1 ] /  x²
und nun vereinfachen
[ 2ax^2 + bx - ( ax^2 + bx + c ) ] / x^2
[ ax^2 + c  ] / x^2
ax - c/x^2

Dein Ergbenis stimmt mit meinem Ergebnis überein.

Answer 3

G(x) = x·f(x) = x(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx

G ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c